Comme première application, considérons la droite

(i) f=iax-\-b,

et la courbe y =zf(x).

L'équation de la droite ne renfermant que deux con^^ stantes arbitraires , on ne pourra établir qu un contact du premier ordre. Il faudra pour cela satisfaire aux deux équations

r=r et - ou a=-.

Si l'on remplace j^' V^^J ^^^^ l'équation (i) , on aura X = ax -^ by

d'où l'on tire

L*équation (i) deviendra alors

ce qui est bien l'équation de la tangente au point {x^y).

DU CERCLE OSCULATEUR.

232. Appliquons encore les mêmes considérations au cercle. Ainsi, soit en coordonnées rectangulaires

l'équation d'une courbe. Puisque l'équation générale du cercle contient trois constantes arbitraires, le cercle osculateur sera celui qui aura avec la courbe donnée un contact du second ordre. Soit donc

l'équation de ce cercle inconnu.

On en tire par deux différentiations successives :

Comme on doit avoir

^ '^' dx dx dx^ ^ da^'

si Ton remplace dans les relations précédentes /'^ — ,>

d^y . dy d}Y ,,

--^j respectivement par j^, --» -~-, on aura pour déterminer I , y} , p les trois équations

X et j^ étant les coordonnées du point de contact. On tire de ces équations,

-" dyy d^

dx* dx'

et enfin y

d'où

\dx') \dx*)

i-ÏÏ

P = ± d^ • 233. Le numérateur de cette expression étant positif,

il faut prendre le signe -f- ou Je signe — suivant que •3-7- est "> o ou << o, si Fou veut avoir la valeur absolue

dep

d^ Y L'équation (6) montre que n — y et-j-^^ sont toujours

de même signe. Comme ïj — y est la différence entre l'ordonnée du centre du cercle et l'ordonnée du point de contact, il en résulte que le centre du cercle osculateur est toujours dans la concavité de la courbe.

La courbe et le cercle osculateur ayant la même tangente, le centre du cercle osculateur est sur la normale à la courbe au point {x^y) \ on peut encore le conclure de l'équation (5) mise sous la forme

d'où résulte que la droite dont le coefficient angulaire est

1 c'est-à-dire la droite qui unit le point de contact

au centre du cercle osculateur, est perpendiculaire à la tangente commune.

Le cercle osculateur ayant avec la courbe un contact qui est en général du second ordre, par conséquent d'ordre pair, il s'ensuit qu'il traverse la courbe , excepté en certains points particuliers ou le contact est d'un ordre supérieur au second. Dans ce dernier cas , si le contact est d'ordre impair, la courbe et son cercle osculateur sont du même côté de la tangente commune.

On appelle souvent le cercle osculateur cercle de courhure ,• son centre et son rayon centre et rayon de courhure. Nous en verrons plus tard la raison.

234, Comme exemple, proposons-nous d'obtenir le rayon de courbure MK d'une section conique, en un point quelconque.

Supposons celle courbe rapportée à Tun de ses axes Fig. 3G. de figure, et à la tangente au

sommet ^ son équation sera

En différenlîant deux fois cette équation , on trouve

dx ~ y d'

d'r fdxY

et, en mettant pour -j- sa valeur,

d^X P^ -h 0.pqx-^ q^x^

J -* enfin

^ dx' ' X'

dx' y''

Par suite , on a pour la valeur absolue de p,

Le numérateur de p est le cube de la normale MN. En effet, le triangle rectangle MNP donne

d'où

Donc

Ainsi, dans toute section conique, le rayon de cour* bure est égal au cube de la normale ^ divisé par le carré du demi-paramètre.

DIX-NEUVIÈME LEÇOH. 211

Il est, du reste ; facile d^obtenir la valeur de p en fonction seulement de Tabscisse du point M. En effet ,

y^ = 7. pœ '\- qx^ et y — ±=: p -k- qx-y on a , par suite ,

w'= :tpx -h qx^-\- (p-hqxy={q-\-q^) JC* -H 1ipqX'\-1px-\-p'f. Donc

s [(y -^ q^) x^ ^ :lp [l^ q) X -^ p^Y

212 COUB.S D ANALYSE.

Développées et développantes des courbes planes. — Propriétés générales des développées.— Application à la parabole , à Vellipse, à rhypert>o1e.

DÉVELOPPÉES ET DÉVELOPPANTES. ♦

235. Nous avons vu qu*en appelant Ç et r? les coordonnées du centre de courbure correspondant au point M de la courbe CM, on avait, pour déterminer ces deux quantités, les équations

Les centres de courbure K, K|, . . . , forment une nouvelle courbe que l'on appelle la développée de la courbe CM, et celle-ci est appelée la dév^eloppante de KF; nous verrons bientôt la raison de ces dénomi-

f-Q] p ^—x iialîons.

*" Puisque les équations (i) et

(2) avec Téquation

de la courbe donnée CM, déterminent les coordonnées Ç el y? du centre de courbure K, répondant au point donné M (jc, y) de la courbe CM, on aura l'équation du lieu des points K, en éliminant x ety entre les équations (i), (.)et(3).

VINGTlisME LEÇON. ai3

PROPRIÉTÉS GÉfïÉRÀLES DE LA DÉVELOPPÉE.

236. La développée jouit de propriétés générales irèsremarquables.

En premier lieu , tous les rayons fie courbure MK , Mj K| y . . . , ou les normales à la première courbe , touchent la développée aux points K, Ki , . . . , c'est-à-dire aux centres de courbure.

En effet , si l'on prend x pour variable îndép«ndanle , et que Ton différenlie F équation (i), en y regardant y,

-r ) c et >î comme des fonctions de x, on a

dx ^

-d^+[dy-dr>)^£ + {y-

dx 1

dr'

bien , à cause

■ de 1 equaliou ( 2 ) ,

dl -\^dn-f =z o, dx

eut] Il

d/i dx di - " Ty'

Cette dernière relation montre que la langenle à la développée menée par le point K est perpendiculaire à la tangente menée par le point M à la courbe CM. Donc la tangente à la développée est la droite KM.

237. Une conséquence immédiate de cette propriété, c'est que la développée d'une courbe est le lieu des interscction s successive s des normales à cette courbe. En y effet, considérons deux de ces normales MK et MjKi qui seront par conséquent tangentes à la développée aux points K et Ki. Soit I le point où elles se coupent : quand Mj se rapproche indéfiniment de M, Mj Kj se

DJgltized by

2l4 COURS d'aITALYSE.

rapproche de MK, et Fangle KjIK tend vers deux angles droits. Donc K^ K est le plus grand côté du triangle KiIK, et comme ce côté tend vers zéro , il en sera de même de IK. Par conséquent le point I se meut sur la droite fixe MR en se rapprochant indéfiniment de K, que Ton peut considérer comme le point d'intersection de la normale MK et de la normale infiniment voisine.

î238. La différence entre deux rayons de courbwe MK et MtK, est égale à Tare K, K de la dév^eloppce^ compris entre les deiix centres de courbure correspondants.

Pour cela, difïérentions Téquation

en y regardant 7> ^ ) y? et /d comme des fonctions de la variable indépendante x. Il vient ainsi

p ^p =r (^ ~ Ç) [dx - <^Ç ) H- (j -^ „) [dx - rf,), OU

pûrp = ^hF — Ç -+-(>- — ïi)^ — (a: — „)</Ç — (j^ — fl)^,,

ce qui , d'après l'équation (i) , se réduit à

pé/p = — (j: — Ç)rfÇ — (/ — >i)rf>i, d'où l'on tire, en désignant par ex Tare FK, ^Ç — ;r c/Ç I) — y dn\

dp^n

dfr \

p rfcr p rfff/

Mais le second membre est le cosinus de l'angle que la droite MK fait avec la tangente à la développée au point K. Comme cet angle est nul, son cosinus est égal à l'unité^ et Ton a

De cette équation on conclut ,

p = <iH- C, C désignant une constante; on aura de même

donc

p — pi = ff — «F, 5=:arcFR — arcFK, = arcKK,.

239. On peut aussi concevoir cette propriété comme une conséquence de ce que la développée est le lieu des intersections successives des normales à la courbe donnée. En effet, remplaçons un petit arc KKi de la développée par sa corde j et supposons que cette ligne prolongée rencontre la courbe en M. KM différera très -peu de la normale KN menée par le point K, et Kl M très-peu de la normale K, Ni menée par le point Ki , en sorte qu'on aura, en ii^ligeant des infiniment petits du second ordre, KK, = KM — K, M = KN — K, N^.

C'est cette propriété de la courbe FK qui lui a fait donner le nom de^ développée. En effet, imaginons uiï fil dont une partie soit enroulée autour de FK , et dont Tautre partie , tendue suivant la tangente Ki Mj, se termine en Mi sur la courbe CM. Je dis que si l'on déroule ce fil en le ^'Ç- ^9 tenant toujours tendu, son ex-

trémité décrira la courbe CM.

Car supposons que la partie rectiligne soit maintenant dirigée suivant la tangente KM> et que Textrémiié aboutisse au point G r on a

puisque Kj K est la partie qui est devenue rectiligne. Mais d'ailleurs on a aussi MK = Mi K, H- Kj K. On aura donc GK= MK. Donc G est en M sur la courbe CM, donc l'extrémité du fil décrira la courbe CM.

240. On voit par là qu'une même courbe FK a une infinité de développantes, et que pour les décrire il suffira