RAYON DE COURBURE ET DÉVELOPPÉE DE LÀ PARABOLE

242. Appliquons maintenant cette théorie à la paraf'S' 4o bole dont l'équation est

Nous avons trouvé, en désignant par n la normale IMN, et par jO le rayon de courbure au point

Si l'on veut exprimer ce rayon en fonction des coordonnées du point M, il faudra différentier deux fois Téqualion j' = apa:, ce qui donne

ffy P î^ « ^ dx X dx^ y^

Donc on a, en valeur absolue,

(■-gy ,.

Pour avoir maintenant Téquation de la développée, substituons les valeurs de-^ et de-r^ dans les équations

il vient les équations

L'élimination de a: et de j^ entre ces équations et celle de la courbe conduit à Téquation de la développée. De la seconde on tire

I + ^ - ^ -f-^ = ou „ = — -i-.

£n mettant cette valeur de rj dans la première , on aura

x-li-hp+^ = o.

d'où

On a donc

— p'n, x — ^(^-p) et x' = ^P^i

et

jr' = {:,pxy=^^p(i-p)l^.

Donc

et

Si l'on transporte l'axe des ordonnées parallèlement

à lui-même jusqu'au point O, tel que AO = p^ l'équa-

tien prend la forme plus simple r^* = — ^'% ousimplc-

2i8 COURS d'analyse.

ment

En construisant cette courbe, on reconnaît qu'elle a la forme KOL [fig^ 4^, page 216). Elle est symétrique par rapport à Taxe des abscisses , ce qui était évident à priori , et s'étend à Tinilni du côté des x positifs.

En différen liant, on trouve

rfi ^ V 27/'

Le signe de —^ est le même que celui de rî ; par consé-

quent, la courbe est partout convexe vers l'axe des abscisses.

RAYON DE COURBURE ET DÉVELOPPÉE DE l' ELLIPSE.