Soit

l'équation d'une ellipse rapportée à son centre et à ses axes. On en tire

dx a^y dx"* a'x^

Cela posé, la formule connue du rayon de courbure donne

(,+ ÈLfl]'

Pour avoir k développée de l'ellipse, reprenons les deux équations

En y remplaçant ^ et ^ par leurs valeurs , 1 équation (i) devient

•^-^= a^ôT^

et posant a' — A" = c% il viendra

OU enfin

En changeant dans la relation (3) j: en / et y en a:, puis a en & et & en a , ce qui change c' en — c*, on aura

Par conséquent, si l'on pose, pour abréger, - = A et

= B , on a

En substituant ces valeurs dans l'équation de l'ellipse, naise sous la forme

on a, pour l'équation de la développée,

La courbe représentée par cette équation est symétrique par rapport aux axes de l'ellipse , comme , du reste 5 on pouvait le prévoir.

Pour >; = o , on a

ce qui donne deux points G ,

G', situés sur Taxe des x

entre les foyers. On obtiendra de même les points H, H',

où la courbe rencontre l'axe des y.

En difTérentiant Téquation de la courbe deux fois de

suite, on aura

De là on tire

dV - -1

Ov — - est de même signe que le dénominateur, puisque

le numérateur est positif. Par suite, ccîtte dérivée aura le même signe que yj. Donc la courbe tourne partout sa convexité vers l'axe des x.

On a ensuite

\Aj A__ /AtjX » B

celle dérivée étant nulle pour Ç = o et infinie pour >3 = o, on en conclut que les axes sont tangents à Ja courbe aux points G, G', H et H', qui, à cause de la symétrie de la figure, doivent être des points de rebroussemeot.

R\TON OE COITRBURE ET UÉVELOPPÉE DE l'hYPERBOLE.

244. Le rayon de courbure et la développée de l'hyperbole peuvent se déduire de ce qui précède en changeant i' en — A*. On a ainsi pour le rayon de courbure

et, pour l'équation de la développée ,

en posant c* •= à^ -+- />% — = A et -y- = B.

La développée de l'hyperbole se compose de deux

branches infinies HGK , H'G'K', symétriques par rapport aux deux axes ; elle a deux points de rebroussement G et G' si tués sur Taxe tran s verse au delà des foyers par rapport au centre et elle estconvexe en toussespoints vers Taxe tran s verse.

'^c rio

Élude particulière de ta cycloïde : Définition et équation de la courbe. Tangente et normale. — Rayon du cercle osculateur. — Développée. Longueur d'un arc de cycloïde.