DÉFTNITION ET ÉQUATION DE LA CYCLOÏDE

24S. La cycloïde est le lieu des positions d'un point M donné sur un cercle qui roule sans glisser sur une droite indéfinie Âx.

Prenons pour axe des abscisses la droite A.r, pour origine le point A, où se trouvait le point générateur M à Forigine du mouvement , et pour axe des ordonnées la perpendiculaire Ay.

On reconnaît , à priori , que l'ordonnée est maxima

au point C, correspondant à Tabscisse AD= -cire. OM:

que la courbe rencontre de nouveau l'axe des x en un point A' dont Tabscisse est cire. OM , et que la portion CA' de cette courbe est symétrique de l'arc CA par rapport à CD 5 ensuite qu'au delà du point A', comme avant le point A , il existe une infinité d'arcs identiques à ACA'. Cherchons maintenant Téquation de la courbe. Soient

AP=x, MP = y les coordonnées d'un point M du lieu, MO = a et MOH = u ^ joignons MO et menons MI perpendiculaire à GH.

D'après le mode même de génération , Tare MH sera égal à la portion de droite AH. On a

jr = AH— PH = arcMH--]MI=r au — a s\n u = a [a — sinu), y z=z OH — IK = ^ — fl CCS M = « (i — ces u).

Fig. 43.

Il ne s'agit donc plus, pour avoir Téquation de la cycloïde , que d' éliminer u entre les deux équations

(1) X ::=: a {il — SÎn 1/),

(2) jr=:za{\ — cosw).

Or la dernière donne

'— o\\ a = arc cos 9

d'où

^y2rtj— j»

Portant ces valeurs dans l'équation (i), on a, pour Téquation de la cycloïde ,

( 3 ) x= a arc cos ^ zçz v^2 a^ — j*.

Pour expliquer le double signe du radical ou de sin u , on observe que si le point M est sur l'arc AC, on a m<^it et sin u^ o. Mais si le point M se rapportait à l'arc CA', on aurait m^tt et sin ii<C^o. Donc le signe supérieur convient à l'arc AC, et le signe inférieur à l'arc CA'.