TANGENTE ET NORMALE

246. Pour obtenir —1 on pourrait différentier l'équation (3) , mais il est plus simple de différentier les équations (i) et (2), dans lesquelles x ety sont fonctions de la variable indépendante m, ce qui donne

dx = adu ( I — cos u) z=zy du^ dy = a sin udu z=z du y 2 ay — y'^ .

Divisant membre à membre, il vient

dy y/2 ay — y^

dx'^ y

La sous-normale au point M ayant pour valeur •^--^>

on voit qu'elle est égale à sjiaj — jp. Or

SJuax — x^=slx[^0'-j) = V/IH X IG =r MI ou PH.

Donc MH est la normale au point M, et, par suite, MG, perpendiculaire à MH, est la tangente en ce point.

De là résulte un moyen très-simple de mener une tangente à la cycloïde en l'un de ses points , M par exemple. Supposons le cercle CwD décrit sur l'ordonnée maxima comme diamètre; menons Mm parallèle âP A Jc: une parallèle à Cw, menée par le point M, sera la tangente cherchée.

247. La longueur de la normale, au point M, a pour expression

Y^dy^ r /

Or GH = 2 « , IH =j^. Cette longueur est donc moyenne proportionnelle entre IH et GH -, elle est donc la ligne MH elle-même.