On peut retrouver le même résultat par le calcul

aafi COURS d'analyse.

Ou a

Substituons ces valeurs dans les équations

dr^ , . d^y

dx

La première équation donne

■^ (j — ï,) — = o ou bien aor — a(^ — »)) = o,

ou enfin

On tire de la seconde équation

ou, en remplaçant^ par sa valeur et transposant,

ou enfin , en faisant passer n sous le radical dont le signe doit être changé, puisque yj est négatif,

(2) a? = Ç — 2 ^— 2 aji — îî*.

Substituant les valeurs (i) et (2) dans l'équation de la cj'cloïde ,

(3 ) jc = fl arc ces — \J7.ay — /%

on a, pour l'équation de la développée,

(4) Ç = fl arc ces '• -h sj — 2 a >î — «?.

Supposons maintenant qu'on prenne pour axes les

Fiff. 44. droites Ex' et Ej'; nommons x'

et y' les nouvelles coordonnées

d'un point quelconque N de la

développée : puisque

AD = 7ra, DE = 20,

on aura

Ç=: AD — DI=7rfl— y, »} = NR — IR = /— 2«.

Substituant ces valeurs de $ et de yî dans Téquation (4) , l'équation de la développée par rapport aux nouveaux axes devient

n a — x' z= a arc ces ~ h v/2 ay' — y'^j

ou bien

j/ = flf In — arc cos | — ^2 ay' — j'S

OU enfin, comme deux arcs supplémentaires ont des cosinus égaux et de signes contraires,

: a arc cos

Cette équation , comparée «i l'équation (3), montre que la développée de la cycloïde est une cycloïde égale, placée par rapport aux axes Ej:', Ey', comme la proposée par rapport aux axes primitifs.

LONGUEUR d'un ARC DE CYCLOÏOE.

251. La ligne MN double de HN est le layou de courbure correspondant au point M de la cycloïde développante, ou la tangente en N à la cycloïde ANE développée de la première. De plus , au point A , le rayon de courbure

328 COURS D*AITALT5B.

est nul puisque la normale MH devient nulle pour ce point. Donc, comme un arc de développée est égal à la différence des rayons de courbure extrêmes, on a

arcAK = MN=:2NH.

En revenant à la cycloïde proposée, on peut dire que l'are CM est égal à 2 MG.

Exprimons maintenant cet arc en fonction des coordonnées de son extrémité.

On a

arc CM= 2MG == a ^a^.MQ,

ou bien , puisque MQ = 2 a — y ^

arc CM = 2 ^4 ^' — ^ ^J«