On peut encore parvenir à ce résultat par le calcul
En effet, soit CM = 5 un arc compté à partir du sommet C ; on aura
rhw. dx y
Ulr on a —
donc,
ds=±Ldy
Mais Tare CM diminue lorsque y augmente ; on doit donc prendre le signe — , et écrire
ds=i— dy ^ — =d(^2sj^a ^2 a — 7)^ donc s= 2 ^2.a ^2a — / -hC,
ou
s = 2 \/4«' — 2<ij + C.
C est une constante que l'on détermine en faisant y = 2û, ce qui donne 5 = o et par suite C = o. On a donc, comme plus haut,
arcCM=2^4«'— ^«Z- 253. Si l'on suppose j^ = o, on aura
arc GA = 4^9 et par suite
arcACA' = 8«.
Ainsi Varc entier de la cycloïde est égal à quatre fois le diamètre du cercle générateur.
Expression du rayon de courbure, quand la variable indépendante est quelconque.— Application aux coordonnées polaires. — Théorie de la courbure des courbes planes . — Identité du cercle de courbure et du cercle osculateur . — Applications.
EXPRESSION DU RAYON DE COURBURE QUAND LA VARIABLE INDÉFENDANTE EST QUELCONQUE.
254. En prenant x pour variable indépendante, nous Avons trouvé
Supposons maintenant que x eX. y soient fonctions d'une autre variable t^ et cherchons, dans cette hypothèse,
l'expression de p. On sait (85) que -^ conserve la même
n d^Y 1 . * , . dx(PY — dyd^x lorme , et que -7-^ doit être remplace par -j— •
On aura donc
dy'V
dxd'^y — dyd}x
dx^
OU bien
{dx-'^dy-'y dxd}y — dyd}x
expression dans laquelle les différentielles de x et de j' sont prises en regardant t comme variable indépendante.
Exemple. — La cycloïde est représentée par Fenserable
VINGT-DEUXIÈME LEÇON. HÔf
des deux équations
x = a{u — sinu)j x^=^^(^ — ces a).
De là on déduit , en prenant u pour variable indépendante,
dxz=ia{i — cos u)duy {t^ x == a s\n u du*^ dx:=asmuduy d^ f =: a cos uda*.
Par conséquent,
£ix^-{-dx^z= (i — 2 cos « + CCS* u -+- sin' u)a^du^, dxd^X — dy d^ X =z {cos a ^ cos*a — sia* u ) a\ du^ ,
ou dlr*-4- €(^*=: 2 (i — costt)a'€ftt%
dxd^X — rf/ rf» X = — ( I — cos tt ) a' du^.
Par suite
I (i— ces «)'«'«?«» /-,
f> = 2*-5 TT-TT =a«V2(i
■ ces «)'
Or
-COSM = -•
Donc
> = a fl ^ i/ " = 2 v^2«p.
