EXPRESSION DU RATON DE COURBURE EN COORDONNÉES POLAIRES
255. La formule (i) conduit à l'expression du rayon de courbure au point M, en fonction des coordonnées polaires de ce point. Pour cela, menons par le pôle deux axes rectangulaires O a: et O/. Soient
xOA = a, OP = x, MF =7^ OM==r, MOA = 0,
on aura
x=rcos(0 — a), j^- = rsin (0 — -a),
aîa couKS d'analtsc.
ou en posant , pour abréger, 6 — a = ô',
dp = r cos Ô' , ^ = rsin G'.
De là on tire , en observant que d6^=d9y
dx = dr ces B' — rdB sin ô',
djr=:dr sin 9' -h rdQ ces 0', rf'or = rf» r ces ô' — 2 dr sin 6' — n/ô' ces Ô', //' j z=d^r sin 9' -h 2 rfrrf9 ces 9' — n/9' sin 9'.
On aura donc
dx'-h dy-" = dr" ces» 9' 4- r» sin» 9' rfÔ* + dr" sin» 9'4- /^ ces» Q'd^ = Éfr» (sin» 9' -f- cos» 9' ) + r»rf9» (sin» 9'-+- ces» 9'),
et toutes réductions faites ,
(2) dx'--^dx^ = dr^-h r^dS".
De même
dxd'^y — dyd^x
= (Éfrcos 9'— r€/9sin9') (éf'rsin 9'-|- 2c?r€/9cos9'— n/9»sin90 — {dr sin h 4- «^9 ces 9') («f» rocs 9' — 2£^rsin 9' — /y/9»cos9')
= d^r(dr sin 9' ces Q'—rdB sin» 9' — c^r sin 9^ cos 9' — rdQ cos» 9') + 2dr'{d9 cos»9'-4- dQ sin» 9') + r» (sin»9'rf9»4- cos» 9' dO^)^
ou, en simplifiant,
(3) djcd^x-^dyd*x = !idr^dB — rdBd^r'{-r'dBK
Substituai)t les valeurs (a) et (3) dans la formule (i) , on obtient
(dr^'-hr^dB^y ^ .
^"" ^dr'dB -^ rd^ rdB -h r^dQ'^ OU bien
VINCT-DEUXEEME LEÇON. 233
Ce résultat s'obtient d'ailleurs plus simplement en faisant coïncider l'axe OX avec OM. Il faut faire alors a=zOy et l'on a
dx == dr^ dy = /irfô, d'^x zzzd'^r-^ rdO^y d^x = ^drdB.
256. On introduit quelquefois , au lieu du rayon vecteur r, sa valeur inverse dans l'expression du rayon de courbure. Soit
. du ^ 2.
dr= -, d'r='--
du'
— ud'u
Donc on a
/ 1 I du^y
/i i du^y
^ 1 2 du^ nd^ u — 2 du^
u^ ' u*dB^ ' u*dB'
u' * u^ dB^
OU
enfin
/ du^y
257. Exemples, i^. Courbes du second degré. L'équation générale des courbes du second degré, rapportées à un foyer et à l'axe focal , est
p i -h- e cos
r = =- ou M = •
\ -\- e cos p
On aura , dans ce cas ,
duz=: sinOf/Ô, d^uz=z cosQ d9\
2i34 COURS d'analyse.
et la formule (5) donnera
r(i -h^cosô)' . ^' . ,«T
^ (i -f- g cosQ)» fi -H g cosQ g
ou bien p = p ^ — ; — i—
^ ^ (i4-gcos0)*
a**. Spirale logarithmique : r= ae*"^.
On tire de cette équation :
dr Q d^r mdr
Substituant ces valeurs dans la formule (i) , on a
OU bien
^■=zr sji H- m*.
Soient MK la normale et OK la sous-normale du point considéré. Le triangle rectangle KOM donne
MK= V OmV OK = v^/^ 4- r» tang'OMK.
Or on a tang OMK = cot OMT = m ,
donc MK z=zr\]\-\-m^.
Ainsi l'extrémité K de la sous-normale est le centre de courbure.
Pour trouver l'équation de la développée, prenons
Fig. 46. un nouvel axe polaire OB, în-
\\ cliné sur le premier d'un angle
\^, a. K étant Tun quelconque des
h^^'^^'^y \,^^ points du lieu, soient OK=:r'
^vX^^^^rWr^^ et KOB = ô' : on aura
t! z=z mr y ou /= mafP^ V
maïs 6'-^-a = 0-i---, donc Téqualion de la développée sera
md -^-m r = mae
ou bien
Comme a est arbitraire, déterminons cette quantité de telle sorte que l'on ait
me ^ =^ I »
ce qui donne
1//I -t- /w ( a l = o, ou a = ;
l'équation de la développée deviendra
ae^'^\
ce qui montre que la dci^eloppée est une spirale logarithmique égale à la première , mais différemment placée.
