DE LA COURBURE DES. COURBES PLANES

258. On doit considérer la courbure d'une circonférence comme étant la même en tous ses points, et d'autant plus grande, que son rayon R estplus petit, ou que la valeur

inverse- est plus grande. Il est donc naturel de prendre,

- pour mesure de la courbure du cercle.

On conçoit mieux cela si l'on considère un cercle tangent à une droite en un point, et que l'on éloigne de plus en plus le centre sur la perpendiculaire à celte droite en ce point. Le cercle mobile , dans une de ses positions , sera compris entre la droite fixe cl le cercle précédent, et par

conséquent il s'approchera d'autant plus de la droite , que son rayon sera plus grand.

Soient MT et M'T' deux tangentes à une circonférence ^^ 47- dont le rayon MK est égal àR, et

soit HIM'= w. On aura arcMM'=R«, puisque Tangle MKM' est égal à HIM^; donc on a

R~~arcMM'*

Ainsi la courbure d'un cercle est égale à l'angle de deux tangentes divisé par Tare compris entre les points de contact.

259. Considérons maintenant une courbe quelconque CMM'U, C étant un point fixe de cette courbe 5 soient CM = ^, MM' = A5, T l'angle MTx, tTangle M'T'x, formés par les tangentes MT et M'T' avec Ox, et A t la différence de ces angles, c'est-à-dire l'angle HIM'.

Si la courbe était une circonférence de cercle, — serait

^' ^ sa courbure au point M , et ce

rapport serait indépendant de A5. Quand la courbe est quel-

conque, le rapport — » qui varie avec A5 , est appelé la cour-hure moyenne de l'arc MM', et l'on nomme rayon de courbure moyenne le rayon d'un cercle dans lequel les tangentes menées aux extrémités d'un arc égal à A5, font entre

elles un angle égal à Ar. Le rayon de ce cercle est — 1 Supposons maintenant que le point M 'se rapproche

VINGT-DEUXIÈME LEÇON. O^ij

indéfiniment du poini M : le rapport — convergera vers