qui sera dit la courbure de la courbe au point M

Concevons un cercle ayant la même courbure, et soit p son rayon : on aura

I fi?T ds

- = — ou p = -r' f> as * «T

Si l'onprendsurla partie intérieure delà normaleMK=: p, le cercle décrit du point K comme centre avec MK comme rayon sera le cercle de courbure, le rayon et le centre de ce cercle seront le rayon et le centre (fc courbure correspondant au point M.

On appelle angle de contingence T angle dz formé par les tangentes menées aux extrémités d'un arc infiniment petit. On peut donc dire que la courbure d'une courbe est égale à l'angle de contingence divisé par la diflerentielle

IDENTITÉ DU CERCLE DE COURBl]RE ET DU CERCLE OSGl]LÀTEUR.

260. Le cercle de courbure est le même que le cercle osculateur, déterminé par la théorie des contacts^ en effet, on a

ds = da:i/

dr'

dt

, / dr\ dx

rfr = d(^arctaDg-j=— ^

donc

dx

dx

ou

ce qui montre bien que p^ ouïe rayon de courbure, est égal au rayon du cercle osculateur, et, par suite, que le cercle de courbure se confond av^ec le cercle osculateur,

261 . On peut démontrer le même fait d'une autre manière. Soient MK et M' G les normales en M et en M' à la courbe donnée^ soit G leur intersection, et soit MK le rayon de courbure pour le point M. Joignons MM'; on a

MG : MM' = £111 MM' G : sinG,

,, , ,.^ MM'sinMM'G

dou MG = ; — 5

sm G

ou bien

MM' ^ G arc MM' „„,^

^^^ = UlOTf X -^-TT X — j; — X sm MM' G.

are MM' sm G G

A la limite, quand le point M' vient coïncider avec M, la droite MM' devient tangente : par suite l'angle MM'G devient droit , et son sinus a pour valeur Tunîté. On a d'ailleurs