Prenons, d'une manière arbitraire et en nombre

quelconque, des points E, F,..., M, M', etc., sur Parc de

^^- ^^* courbe CMD et considérons

D le polygone gauche CEF...

MM'... D, inscrit dans l'arc

CMD. Je dis que le péri-

H mètre de ce polygone tend

vers une limite déterminée quand ses soounets se rapprochent tous indéfiniment les uns des autres, eu même temps que leur nombre augmente jusqu'à l'infini; après l'avoir démontré, nous conviendrons de prendre cette limite pour la longueur de l'arc CD.

Soient donc x, y, -s les coordonnées de l'un quelconque des sommets M, et 0:4- Ax, y -h- Aj^, z 4- ùkz celles du sommet suivant M'^ on a

MM'=s/A^^-f-û/'H-Az^=:Axi/n- (^) + (— )'

Donc, sî nous désignons par Pie périmètre du polygone,

on a

Si ùkX décroît iusqu à o, — et — tendent vers -r- •* ^ ^ Aj? Aj? dx

et — » et Ton peut écrire

v/-('if)"-(S)'-vMSHi)"-

a étant une fonction qui s'annule avec Ax. De là il suit que

Mais, d'a.près un principe démontré (n** 193), on a

Um \^ aAa:= Q, donc

Supposons maintenant que x soît la varîaWe indépen-

^ ^ dy dz . ^

aante^ alors ;t- et —-> et, par suite,

vRïHsr

pourront être regardés comme des fonctions de x. Sous C€! point de vue, considérons, en coordonnées rectap^u« l^ires, la courbe <?/^qui a pour équation

Soient Og = a, Oa = i 5 on aura

Or >^ Yùx a pour limite Taire efgh : donc la limite de P et Taire efgh sont exprimées par le même nombre. C'est ce nombre qui représenle la longueur de Tare CD.

272. Soit maintenant arc CM = ^. Si Oq = x, on aura numériquement

arc CM = aire emqg^ par conséquent

ds == d (siire emqg) =: dx i/ i-i- (-^\ -H f ^ j »

ds .= ^dx^ -i- dy-j- dz*.