Nous avons vu que le plan tangent a pour équation

dx dy dz dx dy dz

VIKGT-QUATRIÈME LEÇOW. 253

Si l'équalîon de la surface est algébrique et du degré m, ■tf »/• »/•

les dérivées -7-» -—? -r sont des fondions algébriques du dx dy az ^ ■*

degré [m — i) . Le premier membre sera donc une fonction du degré (m -^ 1) des coordonnées du point de contact. Quant au second membre , il semble être du degré m par rapport à ces coordonnées \ mais on peut le réduire au degré. iw — i, en tenant compte de l'équation de la surface.

En effet, soit

u représentant la somme des termes du degré m , «t celle des termes du degré m — i , m, celle des termes du degré m — 2, et ainsi de suite : on a

du

dui d^

dUi

du

du,

dU2

-^dp-

dz

du

du y

"dz

du.

En multipliant ces équations respectivement par x , y et z , et en ajoutant les résultats , on aura

df df df I du du du\

'^Tx'^^Tr'^'Tz^KTx-^^Ty'^'Tz)

(dui dux dux\ ( dUi dUi duA

-dl-^^dF^'dl)-^['dI^^dy-^'dl)+-

ou, d'après une propriété des fonctions homogènes (nM69),

df df df / X / X

*dx dj dz

= w (m -h II, + «3-f-...) — «i — 2 /ij— 31I3 — . . ..

Mais le point {^yj^z) étant sur ]a surface, on a

donc l'équation précédente devient

àf df df

rt.r '' dy dz

Il en résulte que l'équation du plan tangent se réduit à

dx djr dz

équation qui est du degré m — i au plus par rapport aux coordonnées du point de contact.