PROBLEMES RELATIFS AU FLAN TANGEKT

278. Mener par un point [a^b^c) un plan tangent à une surface. On aura pour déterminer les coordonnées x^y^ z du point de contact^ les deux équations

df ,d/ df

^ ' dx dy dz

Comme on a trois inconnues, le problème esl indéterminé, ce qu il était du reste facile de prévoir. L'ensemble des équations (i) et (2) représente le lieu des points de contact. Les droites qui joignent le point (a, Z>, c) à ces différents points de contact forment un cône circonscrit à la surface, dont on obtiendra 1 équation en éliminant a:, y^ z entre les équations (1), (2) et les suivantes:

qui représentent l'une quelconque des génératrices.

Si la surface proposée est du deuxième degré, la courbe de contact sera plane, car l'équation (2), qui est satisfaite par les coordonnées des points de contact, est alors du premier degré, et représente un plan.

279. Mener un plan tangent à une surface et parais lèle à une droite donnée. Soient

X = «Z, Y=bZ

les équations de la droite donnée : il faut que le plan tangent transporté à l'origine, et dont l'équation est alors

dx dy az

contienne la droite , ce qui entraîne la relation

Cette équation représente une surface qui passe par tous les points de contact, et avec l'équation (i) » elle constitue la courbe de contact du cylindre circonscrit.

Si l'équation (i) est algébrique et du m*'"*' degré, l'équation (4) sera du [m — i)*'"** degré. On en conclut que la courbe de contact d'un cylindre circonscrit à une surface du second degré est plane.

On aura, dans tous les cas, 1 équation du cylindre circonscrit en éliminante, j", z entre les équations (i), (4) et les suivantes :

X — JT = « (Z — z) , r — 7 = 6 (Z — s) ,

qui représentent une droite parallèle à la direction donnée et passant par un point de la courbe de contact.

PIAN OSCULATEUR.

280. Soit CML une courbe quelconque dans l'espace. Soient M et M' deux points assez rapprochés sur cette courbe. La tangente MT à la courbe au point M et le point MMéterminent un plan. On appelle plan osculateur ce que ce plan devient à la limite , quand le point M' vient se confondre avec le point M.

On peut encore dire que le plan osculateur au point M ^*^' ^* est le plan qui passe par le point

** ^ "^ Met par les deux points m et M'

-^ voisins du point M sur la courbe, quand ces deux derniers ** points viennent se confondre

avecM. Cette définition s'accorde y avec la première, puisque la

la ligne M m tend à devenir tangente au point M lorsque les trois points se rapprochent*

281 . Le plan osculateur de la courbe au point M , dont les coordonnées sont x^y^ z^ devant passer par ce point aura une équation de la forme

(i) A(X~ar)H-B(Y— j)-hC(Z— «)=o.

D'ailleurs les équations delà tangente sont

Comme cette droite doit être tout entière dans le plan osculateur, on doit avoir, quel que soit X ou (X ^- x) ,

A{X-x)H-B^(X-*)+C^(X-x) = o ou bien

Soient maintenant x -f- A r , jr -f- Ay, z 4- Az les coordonnées du point M' : en substituant ces coordonnées dans l'équation (i) à la place de X, Y, Z, on aura

(4) AAjc-hBA j-hCA:^=ro.

Or on peut considérer a: , y , i& comme étant des fonctions d'une certaine variable indépendante f , et si«, 6, y désignent des quantités qui s'évanouissent avec A^, on

VINGT-QUATRIÈME LEÇON. aSy

aura

dx A/» Id^x \ dt I . a \ <*' j

dy Lf (d^x \

dz àt' fd^z \ dt 1.7. \ dt^ ' )

Par suite l'équation (4) devient

ou bien, à cause de Féquation (3) , et en divisant les deux membres par - Af*,

A la limite, a, 6, y s'évanouissent, et alors, en multipliant les deux membres par <£{', on a

(5) A</»a:-f-Brf^/-f.C^»«=o,

équation qui, jointe à Téquation (3), servira à déterminer A B C'C'

les rapports p ' p- Eliminant B entre ces deux équations,

il vient

k{djed''x —dyd^x) -»- C[dzd^y — dydH) = o y

d'où l'on tire

A dyd^z -^dzd^y C dxd'^y — dyd^x