ANGLES DU PLAW OSCULATEUR AVEC LES PLANS COORDONNÉS

282. Soient X, jix et v les angles que fait avec les axes OX, OY, OZ, une perpendiculaire MP au plan osculateur, angles qui sont respectivement égaux à ceux que ce dernier plan forme avec les plans j^z, xz et xy. On a

(a) COSA=r-, COSfA=--> COSV = -->

en posant

VIHGT- QUATRIÈME LEÇON. aSy

c'esl-à-dîre

D' = {djd'z — dzd' fY 4- {dzd^x — dxd^z)'

283. La valeur de D' peut être mise sous d'autres formes : en eflfet, posons, pour abréger,

dx-= Oy djr = by dz = Cy

d*x = a\ d'd=b\ d'z = c'i on aura

D> =r ( ^c' — rù'Y -H {ca' — ac'y + (ab' — W)»,

D' = ( fl» -h *» -j- c» ) (rt'» -h Ô'M- «r" ) -^ (flfl' 4- ^ô' H- !:£/ )».

Or^ en appelant ^5 la différentielle de Tare qui aboutit au point M, on a

ds^zndx^^-dx^-hdz^^za^-h b^-hc^

ce qui donne, en différentiant par rapport à la variable indépendante t , et divisant par 2 ,

dsd* s = dxd\v -^ dyd'x -h dzd' z= aa' -^ bb^ -\- ce';

il vient donc

D>= ds'[(d'xY'^{d'xy-h {d'zY-'{d's'y]\

ou enfin

( n ) D= ds ylUKxy -h ( d'yY + {d'zY— {d^Y'

On peut encore écrire

D = \l{dsd'x — dxd'sY-h {dsd}y — dyd^sy-^ {dsd'z — dzd'sy,

ce qu'on vérifie en développant, ou bien

.=.V(iy-('iy-(f-

Dans toutes ces expressions la variable indépendante est quelconque.

afio COURS d'analyse.