COURBURE DES LIGNES DAMS L ESPACE

285. On noixïxn.e angle de contingence, pour une courbe ^^' S?- gauche, comme pour une

courbe plane , T angle w que font entre elles les deux tangentes menées aux exli émités d'un arc MM' = A^, quidevientinfiniment petit, et courbure au point M , la

limite vers laquelle tond le rapport —9 quand A 5 diminue indéfiniment. Cette limite est représentée par —•

L'inverse de la courbure, ou —9 est dit le rayon (h cour-

bure au point M. Nous le désignerons par p,

286. Pour évaluer w menons par le point O les droites ON et ON' égales à l'unité de longueur et respectivement parallèles aux tangentes MT et M' T'. Soient

dx ds

ds

dz ds

les cosinus des angles que MT ou ON fait avec les axes ou , ce qui revient au même, les coordonnées du point N; soient a', 6', d les coordonnées du point N'. L'angle NON

Googk

sera égal à o). et Ton aura

NN' == a ON sin i » = sl{a' — a)» -h ( ^ — ^)^ 4- (</ — c)S

ou, puisque ON == i,

2sin-« = ^A«'-|-A^*-f- ùc^

En passant à la limite et remplaçant le sinus de Tangle - o) par cet angle lui-même , on aura

d'où

1 /da* db^ de" r "* p "" V S^ "*" 5? "^^^ '

on aura donc, en remplaçant a^b^ c par leurs valeurs.

quelle que soit la variable indépendante.