Âz(Z— -z A«|=o

ou

(X — jt) Ax + (Y — r) Aj + (Z — z) A3 = i (A x'H- Ar»4- Az'}.

Si l'on élimine X — a:,Y — y^Z — z entre cette équation et colles de la normale (a) , on aura

I ^ ds ds \ \ , ^ • . ,x

mais si l'on regarde x , j^ et z comme des fonctions de j, on a

dx Ls" \ ds I

ld± \

dy Ls \ ds ^1

dz A.v'

ds 9.

a, 6, y étant des quantités qui s'évanouissent avec A5.

Substituant ces valeurs dans l'équation précédente, et supprimant les termes qui contiennent A^ en facteur, termes dont la somme est nulle, on aura

-f-As-

et en passant à la limite

pX-,XlimRr= I

ou

lim R =7 p.

Ainsi le rayon du cercle osculateur au point M est . égal au rayon de courbure en ce point. C'est pourquoi le point K, limite du point G, sera dit indifféremment le centre de courbure ou le centre du cercle osculateur.

290. On prouve d'une manière semblable que l'intersection de la normale MN avec le plan normal à la courbe passant par le point M' est encore, à la limite , le point K, ou le centre d« courbure.

En effet , l'équation de ce plan normal est

. (dz ^dz\ ,„

En remplaçant X — .r, Y — /, Z — z par leurs valeurs tirées des équations (a) de la normale principale,

rfj d± df

(a) X-x = Rp — , Y-r=Rp — , Z-.= Rp— %

ds' ^ ^ -"l- ds' ' dl

on aura

[dx dy dz I

ds \ds ^ ds) ^ ds \ds ds) ^ ds \ds^ ds) ^

dx dy dz dx dy dz

= A^— -h Aj-f-H- Az-j- -f AjcA— + AjA -^ + AzA--. ds ds ds ds ds ds

Cette équation se simplifie beaucoup au moyen des

206 COURS d'aisîalyse.

remarques suivantes. D'abord on a

dx dx dy dy dz dz

ds ds ds ds ds ds

et il reste , en divisant par A5 ,

( d— A— d"^ A^ rf — ds ds ds ds ds

^ \ ds as ds as ds

ùkx dx ^Y dy ^zdz ùlx dx Ar dy Az dz As ds As ds Asds As ds As ds As iis

Si l'on observe que

la limite du premier membre sera -UmR.

D'ailleurs la limite du second membre est

On aura donc

ou i.

~limR=i ou limR=:p,

ce qu'il fallait prouver.

291 . D'après cela , on peut regarder le centre de courbure au point M comme étant l'intersection du plan osculateur en M, avec les deux plans normaux, menés par le point M et par un point infiniment voisin.

Pour obtenir les coordonnées $ , >3 et ^ du centre de courbure K, il faudra, dans les équations de la normale

ds

ds

^ ds

Y^r-Rp ^,,

^ ds

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VINGT-CÏNQUÏÈME LEÇON. 267

remplacer X , Y, Z par Ç, >7 , Ç. En observant que R deyîent alors égal à /9, on aura

rf^ d± d±

ds ds ds

équations qui donneront J , yj et f en fonction de» coordonnées du point M.