L*angle infiniment petit © , formé par deux pians
oscillateurs successifs, se nomme angle de torsion j et l'on appelle seconde courbure ou torsion le rapport de (f à ds. Sî Ton prend ds constant, cette courbure sera proportionnelle à Tangle (p.
Par analogie avec ce que l'on a fait pour la première
courbure, on représente le rapport T-par -» de sorte que
ds r =s — 9 et l'on appelle r le rayon de la deuxième cour-
bure ou rayon de torsion.
DÉFINITION ET ÉQUATIONS DE l'hÉLICE.
Fig. 59.
294. Lorsqu'on enroule le plan d'un angle cab = a , sur un cylindre droit OABL, à base circulaire, de manière que le côté ab vienne s'appliquer exactement sur la circonférence AB , la courbe suivant laquelle s'enroule le côté ac se nomme
une hélice.
295. Prenons pour axe des x la droite OA qui passe par le point A, origine de l'hélice-, pour axe des y une perpendiculaire à Ox menée dans le plan de la base par le centre, et enfin pour axe des z l'axe du cylindre.
Soient X = OQ, j = PQ , z = MP les coordonnées du point M. Nommons m la tangente de l'angle a, u l'angle AOP et R le rayon du cylindre. Nous aurons
[a) .r = Rcosi«, j = Rcosa, z = rtiKu,
car z = mp = pa tanga = arc AP X tang a = w R a.
En éliminant u entre les équations («) , on aura pour
les équations de Thélice ;
mi\ mil
mais il vaut mieux conserver les trois équations (a) avec la variable auxiliaire u.
ÉQUATIONS UE LA TANGENTE A l'hÉLIGE.
296. Les cosinus des angles que la tangente MT au point M (x, y y z) forme aivec les axes, sont T"> ^' ^' Mais
d.T z= — R sin udu , dy =zYi ces udu , dz ^rim'Rdu^
on a donc
ds
V^i-hm'rfa
dx __ ^
sintt
ds
COStt
dz
^•^ V^i-Hiw»
La forinuL
dz
— rz: sin Cf.
montre
que
la
tan -
ds 4)
gente MT ybiiC avec les génératrices un angle constant égal au complément de a, et, par suite, que V angle qu^ elle fait av^ec le plan de la base du cylindre est aussi constant et égal à V angle a.
^ dy cosie 1
On a ^ —
dx sin u tang u '
Or -j- est le coefficient angulaire de la droite PT, et
tangu est celui de la ligne OP. Donc ces deux droites sont perpendiculaires entre elles •, donc la projection de la tangente à l'hélice sur le plan xy est tangente au point P à la base du cylindre.
