POINTS MULTIPLES

305. On appelle point multiple un point qui est traversé par plusieurs branches d'une même courbe. Le caractère auquel on reconnaît un pareil point est qu'il admet plusieurs tangentes. Nous omettrons le cas où ces tangentes se réunissent en une seule.

Voici un exemple assez général, où j" est une fonction explicite de x. Soit

- étant une fraction irréductible, dont le dénominateur

p q est pair : le terme [x — a) [x — hy aura deux valeurs réelles et de signes contraires , pour chacune des valeurs convenables de a:, ce que nous indiquons en faisant précéder ce terme du signe zt.

On tire de cette équation

Pour jc = tf , ou a

Si l'on suppose a^b^ il y aura deux tangentes distinctes : d'ailleurs, à des valeurs de x peu différentes de a , correspondent deux valeurs réelles et distinctes de y, qui se réduisent à une seule quand x= a: donc le point qui a pour coordonnées a: = a, y = y (a) est un point double.

2j6 COURS d'analyse.

Mais si a est <^ A , — sera imaginaire , et il n'y aura

pas de tangente en ce point. En efFet, pour des valeurs de X très-peu différentes de a , x — b étant négatif, les ordonnées correspondantes seront imaginaires; par suite, il n'existera pas de point de la courbe dans le voisinage du point considéré. Nous reviendrons plus tard sur ce genre de points singuliers (n^ 311 ).