Supposons maintenant que l'équation de la courbe
ne soit pas résolue par rapport hy. On en tire par la différentialion
. X df df dr
dy En un point multiple de la courbe, -^ doit avoir plusieurs valeurs réelles et distinctes : mais l'équation ( 2 )
dy étant du premier degré par rapport à — » cela ne peut arriver qu'autant qu^on aurait à la fois
^ a.r. dy
donc, pour avoir les points multiples, il faudra commencer par chercher les points dont les coordonnées vérifient les équations (i) et (3).
Comme l'équation (2) se réduit alors 30 = 0, elle ne
peut servir à déterminer la valeur de ^ • Il faudra recourir à l'équation différentielle
dV ^ ^ d-f dy ^ d-fldy\^ ^ ^^'^'330 dx^- dxdy dx dy"^ Kd^j dy dx^ '
OU , puisque — - = o ,
supposons que les trois coemcients -j^) - — y- et -7-^
ne soient pas tous nuls, et que Téquation (4) donne deux
valeurs réelles et distinctes de -7-: ces valeurs feront con-
naître les directions des tangentes au point considéré, et montreront que deux branches de la courbe s'y traversent mutuellement : c'est donc un point double.
Mais si trois branches de la courbe étaient venues se rencontrer en ce point, il devrait y avoir trois tangentes, et comme Téquation (4)5 qui n'est que du second degré
par rapport à —-? ne peut donner trois valeurs de cette
quantité, il faudrait que l'on eût en même temps
dr y , Les valeurs de -7- s'obtiendraient ensuite en diiléieiidx
tiant Féquation (4). On voit comment il faudrait opérer
si un plus grand nombre dé branches se rencontraient au
point (a:, j).
307. Comme exemple, soit la courbe représentée par l'équation
j* = j:'(i — x'), ou bien j = dt^Vi — Jc'*>
Cette courbe est symétrique par rapport à Taxe des x eih l'axe dès j^. Elle coupe l'axe dés x à Forigine et aux deux points qui ont pour abscisses a:=ietjc= — 1.
En différen tiant l'équation de la courbe , on trouve
ffx Jï — X' Jl—x'
^7^ COURS d'akalyse.
Pour a: = o, les deux valeurs dey se réduisent à une seule qui est o. D'ailleurs, pour ce point, on a
dx
Ainsi Torigine est un point double. En ce point, les tangentes
TT' et SS' divisent en deux parties égales les angles des
axes.
On trouve pour la dérivée seconde
dy ^ v/ï — •
— 2;rv^l — a
d'y pour X = o , on a -7-j = o : ainsi Torigine est à la fois
un point double et un point d'inflexion.
POINTS TIE aEBROUSSEMENT.
308. On appelle point de rebrous sèment un point où deux branches de courbe viennent s'arrêter, et où elles ont une tangente commune. Il faut, dans ce cas , que deux valeurs dey, réelles quand x est supérieure ou inférieure à Tabscisse du point , soient imaginaires quand x est inférieure ou supérieure à cette abscisse , et, en outre, que
deux Valeurs de -i- deviennent égales.
Le rebroussement est dit de première ou de seconde espèce, suivant que les deux branches sont de deux côtés différents Ifig» 64) ou du même côté de la tangente qui leur est commune {Jig* 63). D'après ce que nous avons vu sur la convexité des courbes planes (n** 202) , l'espèce du rebroussement se reconnaîtra par le signe de
-r^ sur les deux branches, près du point en question.
