Ainsi , soit la courbe

tf [x) et ^ [x] étant deux fonctions réelles et finies, pour des valeurs de x voisines de a; supposons la fraction

- positive, irréductible et ayant un dénominateur pair-

p Alors, pourchaque valeur dea:> a, le terme [x — û)^ ^ [oc) a deux valeurs réelles égales et de signes contraires, ce que nous indiquons par le double signe ± .

Les deux valeurs de j^, réelles et inégales, pour x^a^ deviennent égales pour x = «, et imaginaires pour x<^a. Donc les deux branches de la courbe viennent se réunir et s'arrêter au point qui a pour coordonnées x=za^

Reste à voir maintenant si , en ce point , les deux branches en question ont la même tangente. Or l'équation de la courbe donne

Si - est > I , à la valeur j? = a correspondra pour —

la valeur unique ç' [a). Donc les deux branches ayant même tangente au point considéré, ce dernier est un point de rebroussement.

Pour s'assurer si le point de rebroussement est de pre-

mière ou de seconde espèce, on calcule 7-7' ^^ ^1^* donne

Nous fercms ici deux hypothèses : i"sl l'on a 2 > o ,

aSo COURS d'analïse.

on aura pour x=f a, ^ = (p"{a). Ainsi, en admettant

que (p'' (a) ne soit pas nulle,

^"Y a le même signe sur les deux

branches, et, par conséquent, la courbe offre un rebroussement de seconde espèce (Jig' 6'i),

2°. Si, au contraire, on a - — 2 -^o, pour une valeur

de X très- peu supérieure à a , le terme

sera très -grand en valeur absolue, et il n'en serait pas de même des autres termes de -r-^ qui tous, excepté le premier, ç" (a:), convergent vers o, lorsque x tend vers a. Ainsi le terme (i) donne son signe à -7-^^ et comme ce

F'g' ^^ terme a le double signe, il s'en-

suitqu'aupointa:=a,y ==y (a), les deux branches sont situées de " partetd'autre delà tangentecommune. Dans ce cas, le rebroussement est de première espèce (fig. 64).