POINTS ISOLÉS

31 1 . On appelle point isolé ou conjugué un point dont les coordonnées satisfont à l'équation d'une courbe, sana qu'aucune branche de cette courbe passe par ce point.

Soit l'équation

jr =±(x'- a) ^x — b,

et supposons d'abord a<^b. Pour a: = t,onaj^ = o,ce qui donne un point 6 situé sur Taxe des abscisses.

Si X croît de b jusqu'à -+- oo , j croît de o à ±: op , Fig, 66. gj pQjj ^ ^jjg branche telle que

MBL. Si l'on fait x < i , j^ est imaginaire, excepté pour x = a, car, pour celte valeur de x, - on a y = o.

AinsilepointA(x=a,y=o) est un point isolé.

Si l'on a a^fc, la courbe n'a plus de point isolé, parce que les deux valeurs de y

Fis. 67.

un point double.

sont réelles quand x est comprise entre b et, la. Pour x=a, les valeurs dej^ se réduisent toutes deux ào. Dex=:aàx = QO, ■ y croit jusqu'à l'infini.

On voit que , dans ce cas , le point A est traversé par les deux branches BCK, BDL : c'est donc

POIKTS D ARRET.

31 2. On appelle point d 'arrêt un point où une branche unique d'une courbe vient brusquement s'arrêter. Considérons la courbe qui a pour équation

Pour X = o , on a ^ = 00 ; si Ton fait croître x jus- % 68. qu'à -H Qo , j^ décroît depuis

H- 00 jusqu'à -f- I , ce qui donne une branche asymptote à l'axe des j^ et à la droite dont l'équation est j'= I.

Si maintenant on considère des valeurs négatives de x, la

VIKGT'SIXIÈME LEÇON. 283

valeur de y sera — j et pour x = o , on aura y=.o\ la

courbe passera donc à Torigine. L'ordonnée augmentera ensuite avec la valeur absolue de x jusqu'à la valeur j^ = I . On aura ainsi une seconde branche de courbe asymptote à la droite qui a pour équaliony = -h i, et s^arrêtant brusquement à Torigine en venant des x négatives. L'origine sera donc un point d'arrêt.

Soit encore la courbe y = j— ^ • On ne peut pas

donner à x des valeurs négatives, car alors log x serait imaginaire. Si l'on donne à x des valeurs positives et trèspetites, l'ordonnée sera très-petite et négative, croîtra en valeur absolue avec a: jusqu'à x = i , et deviendra égale à — 00 pour x = i. On aura donc une branche de courbe (*) partant de rorigine, et qui aura pour asymptote du côté

des y négatives la droite x=i.

Si X croit à partir de i jusqu àoo , j^ devient positive, et cette ordonnée, d'abord très-grande, décroît indéfiniment jusqu'à zéro , ce qui donne la branche de courbe LM. Dans cet exemple, l'origine est un point d'arrêt.