DÉFINITIONS ET NOTATIONS
316. Étant donnée une fonction d'une seule variable, on peut toujours la considérer comme la dérivée d'une autre fonction inconnue, qui aura pour dilTérentielle la fonction donnée, multipliée par la différentielle de la variable indépendante.
Soit f{x) la fonction donnée; je dis qu'il existe toujours une fonction qui a pour différentielle y (a:) dx.
En effet, construisons la courbe CMD qui , en coordonnées rectangulaires, a pour équation
L'aire de cette courbe comprise entre une ordonnée fixe quelconque CA et l'ordonnée MP qui correspond à l'abscis-îc variable a:, est une fonction déterminée de X, Or la différentielle de cette aire est ydx ou J (x) dx\ donc cette aire est
une fonction qui sl/^x) dx pour différentielle, onf(x)
pour dérivée.
317. On appelle intégrale def(x)dx et Ton représente par ff(x) dx une fonction dont la différentielle
Fis.
.Jh^
esif(x) dx. L'opération par laquelle on passe de la différentielle d-une fonction à cette fonction, se nomme intégration»
L'intégration et la dilTérentiation sont deux opérations inverses Tune de l'autre, de telle sorte que le signe d et le signe f se détruisent mutuellement.
Ainsi on a
dff[x)dx=f{x)dx, fdf(i:) = f{x).
318. L'intégrale d'une différentielle donnée f(x) dx peut avoir une infinité de valeurs , car si Ion a une fonction (f(x) doni f{x)dx soit la différentielle, en ajoutant à cette fonction une constante arbitraire, on aura une nouvelle expression 9 (x) -f- C qui aura la même différentielle. Mais il n'y en a pas d'autre, puisse deux fonctions ayant la même différentielle ne peuvent différer que par une constante.
Ainsi l'intégrale générale def{x)dx est
C étant une constante arbitraire. La figure rend bien compte de cette constante arbitraire; car si, au lieu de prendre CA pour ordonnée fixe, on prenait C'A', on aurait l'aire C'A'MP qui surpasse CAMP de Faire- constante C'A' AC.
INTÉGRATION d'uNE DIFFÉRENTIELLE MULTIPLIÉE PAR UN FACTEUR CONSTANT.
319. On sait qu'un facteur constant a peut être placé PU dehors du signe de différentiation ; il en est de même pour l'intégration.
En effet, on a
dan = adn ;
or
I dau = au ,. a j du z=: au;
donc I dau z=z a 1 du^ ou I adn =z a j du ^
ou bien , en posant du z=f[x) dx^
j a/{x)dx=z a j/[x)djr,
