INTÉGRATION IMMÉDIATE DE QUELQUES FONCTIONS SIMPLES
320. La diflerentialion des fonctions simples x", a', etc. , conduit immédiatement à un certain nombre d'intégrales que nous réunissons dans le tableau suivant:
x«dx= hC,
de*= e'dx,..,, lt''dx = e' -JfCy
/a' a'dx = ' h C,
dûnx = cosxdx,..,, j cosxrf^ = sin^r -+- C,
d cosx = — sin jrrfx,. . ., 1 sin xdx = — cos j: -f- C,
dx r dx
° cos*x J COS*JP ^
— dx C dx
sin' jr J sm^x
Si X est moindre que -?
dx r dx . ^
aarc sin j:= -7=:= .•••» I -p==^ = arcsmx -hC,
dx r dx
tfarcros.r = 1 --=i = — are cosx H- C.
. deux valeurs
qui semblent différentes^ mais^ comme arc cos x -h arc sm x= —*
on voit que les deux intégrales ne diffèrent que par une
constante,
dx C d.T rfarctangjr = jv» I == arc tangx -f- C.
321 . Dans toutes ces formules , x peut être la variable indépendante ou une fonction quelconque de la variable indépendante. Par exemple, si, dans la formule
on remplace x par y (x) , on aura encore
322. La formule (i) devient illusoire quand on y fait « = — I : elle donne alors
rdx Gela tient à ce que I — est égale à la transcendante
1 X , qui ne peut pas être représentée par une expression algébrique. Cependant un artifice de calcul permet de
déduire de la formule (i) la valeur de I —
En effet, si , dans cette formule , on retranche du second membre la quantité constante ? ce qui n'en
change pas la différentielle, on aura
Or, si Ton fait « = — i , la fraction ^^^^ devient- ;
pour avoir sa vraie valeur par la méthode connue, il faut prendre la dérivée des deux ter mes par rapport à tz , et faire n = — i dans le quotient de ces dérivées, c'est-à-
dire^dans -^ ce qui donne la:. On a donc
JC
INTÉGRATION d'uNE SOMME.
323. Nous avons donné, dans le calcul différentiel, des règles pour différentier une somme, un produit de plusieurs fonctions , une fonction de fonction ; on en déduit des règles analogues pour le calcul intégral.
Ainsi , de la formule
d [u -\- V — z) =z du -{- dp — dzy on tire , en intégrant les deux membres ,
I </(«-+-«' — ^)= I du -{- j dff — I dzy
ou
= Cf[x)da: + Çff{x)d.T^ r^{.T)d.r.
Donc V intégrale d'une somme de fonctions est la somme des intégrales des fonctions qui la composent. Par exemple ,
^ ^ , , A.r«+' B-r»-^' Crf-^' (A.r«-HB.r'»-hC.r>P4-... «^«^^ 1 H
ou bien
