INTÉGRATION PAR SUBSTITUTION
325. Quelquefois une fonction différentielle /(jc) dx^ qui n'était pas immédiatement intégrable, le devient par un chaugement de variable. L'intégration est dite alors intégration par substitution.
Ainsi, soit x^=<f{t): on ai dx = y'(^) dt^
et jf{x) dx = J/[q, [t)] ^' [t) dt.
Exemples.
I^. / (fl,r-h hy dx.
On posera
ax -^h ^=it. d'où dx ~ —
Donc
/i r 1 f"*"*"* ^ ' aj am^i '
ou
[ax -f- ^)'»<ir =: - ^ -^- — l h C.
2®. Plus généralement, si Ton avait à trouver
i f{ax+b)djn,
on poserait <jrx -|- ^ = r, d*oii dx = — y
et alors on serait ramené à - i f{t)dt.
Sx^ dx
r Sx^
On se fonde ici, pour le choix de f , sur ce que le numérateur de la fonction différentielle est égal, à un facteur constant près, à la différentielle du dénominateur. On pose donc
3x<-+-7 = /; d'où x^dx = — dt;
r 5x^dx r 5 dt 5 ,
/5 x^ dr 5
Posons
V^flî-I- j:»= /, d'où a'-f-j7'=f2, xdx = tdi^ Par suite
VINGT-SEPTIÈME LEÇON. igi
5°. La même méthode conduit à rintégrale fréquemment employée
J x^^px-hq^
lorsque les deux facteurs du premier degré dans lesquels se décompose x' -H px 4- </ , sont imaginaires, c'est-à-
dire quand on a y — — > o . On a identiquement Si Ton pose
l'intégrale cherchée devient
1 r di I
ou bien , en remplaçant t par sa valeur en fonction de or,
/* dx 1^ 2 ^ = — =- arc tang * — , 4- C .
x'-hp'x-i-q I P" P"
Ce résultat peut se mettre sous une autre forme. Nommons a -{-^'^ — I et a — S V — i les racines imaginaires de Téquation
x^ -f- px -f- ^ = o .
On a , comme on sait ,
donc r intégrale en question pourra s'écrire
dx I X — a
j arc rang — h C
>ja — ha.
on a
Ç dx I r
do:
Soit maintenant
par suite cm a
r dx i \\/ h"^^ i r dt I . ^ ^
J z^ — f -j - =: — I ziz:--rarcsinf-4-Cy
Jsla — bx' \la J \/i— f» s/bj )/i — i' sfb
ou enfin
— = -= arc sin J? i / - + € ^
s/a-bx' Sib V fl
VINGT-^HUITIÈME LEÇON. Ug'li
Intégration des fractions rationnelles . — Cas des racines simples. — Cas particulier des racines simples imaginaires.— Cas des racines multiples. — Cas particulier des racines multiples imaginaires.
