Nous allons donc nous occuper de chercher

(f [x) dx

soit m le degré de l'équation

Googlç

dont nous désignerons les m racines par a, i, c,. . ., k. Supposons d'abord que ces m racines , réelles ou imaginaires, soient toutes inégales. Cherchons à déterminer, si c'est possible , les coefficients A , B, C, . . . , K, de manière que l'équation

soit vérifiée identiquement. Il faut pour cela et il suffit que Ton ait, pour toute valeur de x,

lous les quotients —^ — -j — i — -^ etc., sont entiers ^ et les

constantes inconnues A, B, C, etc., sont en nombre égal à m^ on pourrait donc trouver leurs valeurs en égalant les coefficients des mêmes puissances de x dans les deux membres 5 mais on peut les trouver par un moyen beaucoup plus simple et qui a l'avantage de faire voir que ces valeurs ne sont ni infinies ni indéterminées.

Faisons a: = a dans l'équation (a); puisque les racines

1 , . , /(x) flx)

a^ b^ c^. , ,. k sont toutes inégales , — ^ — ^ ? ? • • • >

-, deviendront nuls. D'ailleurs — -^—^ devient -pour X — A- X — a o*

x-=:a\ mais sa vraie valeur, d'après la règle connue,

est f [a]. Donc

ç(«) = A/'(«), d'où A=^.

Cette valeur de A n'est pas infinie, puisque a étant une racine simple de f (x) ^ f [a) n'est pas nulle 5 elle est en outre différente de o si l'on admet, ce qui est toujours

permis, que la fonction \^ '/ \ soit irréductible

VINGT-HUITIÈME LEÇOJN. ig*]

Ainsi, en donnant aux constantes les valeurs finies et déterminées

réquation (2) est satisfaite pour x = a^ x= b ^ etc. Il ' reste à faire voir qu'elle aura lieu pour toute autre valeur de X, Or si l'équation (2) n'était pas identique, comme elle est au plus du degré m — i par rapport à x, et qu'elle est vérifiée pour les m valeurs a,5,c,..., A, elle aurait m racines , ce qui est impossible.

328. On peut encore parvenir de deux autres manières à la valeur de — — - pour x = a, a: — a *

1**. On a , d'après la série de Taylor,

X — a X — a X — a 1.2 (jt — a)

et comme y (jc) est un polynôme algébrique , entier par rapporta x, ce développement est limité; or, puisque f[a) = o , il se réduit à

.r — fl ^ V / 1.2^ ^

et , par conséquent , pour x = a ,

2*^. M étant le coefficient de la plus baute puissance de X dan8/'(a:) , on a

et , par suite , pour j; = a , il vient

329. La transformation (i) étant ainsi opérée, on a par conséquent

On se servira de cette formule quand les racines a , i , c,.,., /î seront toutes réelles, et que les différences x — «, X — 5 , . • • ? ^ — ^ seront toutes positives : mais si a: — a , par exemple, était négative, il faudrait changer  1 [x — a) en A 1 (a — x), ce qui est permis, car on a

^w ^dx dx

A 1 (a: — a) représenterait dans ce cas une quantité imaginaire (n** 151 ).