X) IX — I
quent,
(3 — iix)dx 5 dx i dx
d'où
Posons
fl' — x^ X — a x-f-a^
ff(x) I ^ — I ^ t
f [x] 2X 2fl 2a
d'où
/c/â: I I . = ^^l(^-a)-4- — !(* + «) 4-C, a' — a:' a fl "^ ' 2 a ^
OU
r^ = L, ff:±f\ +c= i-i (c^ziiiV
Ja' — x* 2fl\jr — aj na \ x -ha j
Comme Téquation 2 x* — 3 jî -h 5 =: o n'admet que des racines imaginaires, nous allons opérer Tintégration directe de cette fraction sans la décomposer en la somme de deux fractions.
La dérivée de 2X* — 3x4-5 est ^x — 3 : divisant 3 a: -4- 7 par ^x — 3 , on aura
et , par suite ,
ajr'' — 3 07 -h 5 20?^ — 3.r4-5
VINGT- HUITIÈME LEÇON. 3oi
d'où
J 2;r»— 3j:4-5"" 4 c/ a^' — 3jr-f-5 4 J 20:»— 3a: -h 5'
ou
Or on a
Cette dernière intégrale est égale (n° 325, 5®) à
^arctaog-^-:
on a donc enfin
J 2ar»
ar + 7 )d!r
= 5i(2a:'^3:r-h5) -h -^ arc tang ^=? 4- C.
4°. Plus généralement, si l'expression à intégrer est
(M;rH-N)^ , , r
~ r:; -f on la mettra sous la lorme
M 2(x — a) dx ,,, „, dx
Mais (n^' 325),
/dv I
3o3 COURS d'analtj»e.
donc enfin
= --l[(^ — a)^H-6»]H g arctang— ^+C.
CAS DES hagines multiples.
332. Dans le cas où le dénominateur de ^ ' / , ■ admet des facteurs multiples , c'est-à-dire où Ton a
/(;r)=M(.r — n)«(.r — ^)f(ar--c)ï... (or— k\
il est impossible de trouver des valeurs de A, B, €,.••? K.^ capables de vérifier l'identité
<p(jc) A B
y(a:) jc — a x — h
En effet, si Ton réduit tous les termes du deuxième membre en une seule fraction , le dénominateur de cette fraction ne contiendra x — a qu'à la première puissance, tandis que ce binôme entre à la n'^"*'^ puissance
dans y^(jtr), et que d'ailleurs la fraction ~ — r est sup-
posée irréductible.
Afin donc de découvrir le mode de décomposition propre à ce cas, supposons d'abord
f{x)'^{x^aY,
On a, d'après la série de Taylor,
VIlfGT-HlJITiÈME LEÇOIT. 3o3
Ce développement ne s'étend pas plus loin parce que (f (x) , dans le cas onf{x) =: (x — a)", est au plus du
degré n — i . Il résulte de là que Vr4 est décomposable
en n fractions ayant chacune pour numérateur une constante, et pour dénominateur une puissance de x — a. Le problème est ainsi ramené à intégrer des fractions
de la forme r-^* Cette différentielle pouvant se mettre sous la forme j^ U^ on voit que son intégrale est
— z TT nr-T si A est ^ I , et 1 (x — ^7 ) si A = i .
333. Cherchons maintenant à opérer une décomposition analogue à la précédente, dans le cas général , c'està-dire quand on a
Soient A, Ai, Aj, As,. . ., A„«i , n coefficients assujettis à vérifier l'identité
/{x) "~ (a? -~ «)» "^ (JF — «)«- "^ jca'^/,{xy
^ (x) étant un polynôme rationnel et entier par rapport à X» Si Ton multiplie cette équation par f (x) et que l'on fasse passer dans le premier membre les termes qui contiennent A, Al, As,..., A„.i, on devra avoir, pour toute valeur de x,
^(^) aM^L. A-IifL- A^^fL
Maintenant en développant <f {x) suivant les puissance» de X — a, on aura
.]? (a^ == (j» (fl) -h (p'(a) (x — a) + î-^ (.r — «)' -f-. . , .
3o4 COURS d'analyse.
On obtiendra fOur f[x) un développement analogue; mais comme a est une racine multiple de Tordre n^f[a)^ f (a),...? Z^""* («) sont nulles, et l'on a simplement
Substituons ces valeurs de y (j:) et de /*(a:) dans l'équation (i) : en ordonnant par rapport aux puissance de (x — a), le premier membre deviendra
L^ I.2...(/lH-l) I.2.../lJ^ '
Ll.2 1.2. ..(«4-2) 1.2...(/l-f-lj I.2..,/ïJ^
