CAS PARTICULIER PES RACINES IMAGINAIRES MULTIPLES

335. Si quelques-unes des racines multiples de l'équation f{x) = o étaient imaginaires , le développement I. ao

3o6 COURS d'analyse.

de jj— renfermerait des imaginaires que Ton pourrait

faire disparaître en groupant d'une manière colivenable les termes relatifs aux racines conjuguées; mais il est plus simple d'opérer de la manière suivante.

Soient a db j3 ^ — i deux racines conjuguées de l'équation /(a:) = o , et « leur degré de multiplicité. Posons

®(.r)___ Aa:-hB A,a:-f-B,

A , B, Al , Bj , etc. , sont des constantes qu'il s'agit de déterminer; ^p [x) une .fonction rationnelle et entière de j?, et/, (x) le quotient de y (x) divisé par \(x — a)' -h 6']". On doit avoir l'identité

y {x) — {Ax 4- B)/. {x) — (A, X 4- B.) [(x — a)» -f- 6']/, (^) - (A,x4- B,) [( Jf — a)^ + 6]'/ (.r)

- (A„^.:r -h B„^.)[(a:- a)»+ SM^-'/.t^)

Los constantes A, B, A,, Bj, etc., doivent donc être choisies de telle sorte, que le premier membre de cette équation soit divisible par [ ( j: — a)' -h 6*]" ou, ce qui revient au même, de manière que, pour X =z a -\- 6 \J — I , ce premier membre devienne nul, ainsi que ses » — i premières dérivées. On aura ainsi n équations , dont chacune se partagera en deux y car il faudra égaler à zéro la partie réelle et la partie imaginaire de chaque équation.

Dans la première, tous les termes qui suivent le second contenant (a: — a)'-|-6' en facteur deviendront nuls pour a: r= a H- 6 y^ — i . Cette équation ne contient donc que A

VIN6T* HUITIÈME LEÇON. ioj

et B , et <2omme elle se décompose en deux, on pourra ainsi trouver les valeurs de A et B. Quant à la seconde , elle ne contiendra que A, B, Ai , 61 , et comme A et B sont déjà connus, et que cette équation se sépare en deux, elle donnera les valeurs de Ai et de Bf. On obtiendra de la même manière les autres constantes.

Ce calcul fait^on opérera ensuite la décomposition de