On a identiquement
r dz r dz r j^dz
Mais
/ z'dz 1 r ?. z dz
et
nzdz r I "j
par conséquent, en intégrant par parties, on a
/z'dz z I r dz
(l-f-a*)""" "" (2/1— 2)(l-hz')«-' "^2rt--3j (iH-z^)"-*
Substituant cette valeur dans (i) , il vient, en réduisant,
/ dz ^ z 2/?— 3 r dz (i-f. «»)- ^ (2 /i — 2) (i4- a»)»-' "*"2/i — 2j(i-h z»)»— '
Ainsi la recherche de / ; -r- est ramenée à celle de
/; ~r — - : de même celte dernière serait ramenée à
celle de / , rrr-i? et ainsi de suite, et comme n est
un nombre entier positif, on sera finalement conduit à la
VI KGT- HUITIÈME LEÇON. SoQ
recherche de i ; qui est égale à arc lang x, L'inté- b '^o^ .
grationde^^-^, et, par suite, celle de ^|^^^,^g,j„ se
trouvera ainsi effectuée.
/dz '. -r de la manière
suivante. Posons
t = arc tang z.
On a alors
dz dz dt ^
^""Tnh?' (n-z>)""~(n-z')»-''
or
= ces'/ , d ou ■; n- = cos*"-'/ e// :
par suite
/' — li-— = / cos"»-»f«/r.
On connaît différentes manières de parvenir à / cos"*-"frff:
une des plus simples consiste à développer cos*"~*f suivant les cosinus des multiples de t [n® 136, formules (i) et( a)]. On obtient ainsi un développement limité, et dont chaque terme, multiplié par dt^ s'intègre très^facilemeu t.
3lO COURS d' ANALYSE.
intégration des /onctions irrationnelles,^ Fonctions qui ne contiennent que des irrationnelles monômes. — Fonctions qui contiennent un radical du second degré..— Intégration des différentielleB binômes.— Cas d'intégrabilité. — Formules de réduction.
