Occupons-nous maintenant de l'intégration de

f\Xy ^ a -j~ bx — x^j dx.

3i4 COURS d'analyse.

D'abord , si a est [> o , on peut employer la seconde transformation. On posera

sla -^ bx — ;r» = ^ -H JTZ, d*où b — a; = 2zv^-f- xz^\

donc

, . — b — 2.zsla

(3) dx:=

Va -f- ^^ — ^' = ' ■ — ; ^ 1

2 (z' ^ — bz — sja) dz

345. Il existe une troisième transformation qui permet d' intégrée

/{x^ ^a -h bx±x^) dx

quand les deux racines du trinôme a-h bx ±x* sont réelles (ce qui comprend le cas où x* et le terme constant sous le radical ont le signe — \ car alors les racines doivent être réelles, pour que le trinôme ne soit pas constamment négatif) .

Supposons d'abord que le terme x* sous le radical ait le signe + : soient ce et 6 les racines réelles de Féquation

a -^ bx -^ x^=zOf on aura

a H- ^JC -h .r'= (.T — a) (.r — 6).

Posons

yfl -f- ^x 4- .r' = (.r — oc) z ou a + ^.r -H x' = ( .r — a)* z', il en résulte

(x — a) (.T — 6)=(.r — a)'z% ou .k — 6 = (.r — a) z- ;

VIHGT-KEtJVlÈME I^EÇOH. 3l5

par conséquent, on a

; ^ ^ (t—oiz' \ (6 — a)z

^(i ^z')2«g</g4-(6 — dz^)iizdz 2(6-- a)z<fe

Il faut modifier ces formules, quand le terme x* est précédé du signe — : on écrit dans ce cas

fl-t-^ar — ar»= (^ — a) (6 — 0?).

Posons

^a -f- ^.r — .r* =: (jc — a) «, d'où

6 — a: = (a? — a) «% et, par suite, on a (4 ) j: = r >

^5) sja-^bx — j?' = (jî — a)

/^î\ j (1 +zM2aZ€&— (6H-a«')2Z£/r 7.{oL — ^)zdz

(6) '^*= ^7qrïî)5 = (, + z«)« *