On peut appliquer cette méthode à

da:

bac — .r'

mais il est plus simple de ramener cette intégrale à

On a

dx dx

sla-^-bx — x^

3l6 COURS D^AKALYSE.

Soit maintenant

— x^rzt^ a-hj-^ ^'^" ^.r= — dt< a-^ y"»

on a

arc cos -

/ dx Ç dt

Si a = o 5

==: = arc cos -. h C.

\l~bx^

347. Les méthodes précédentes permettent d'intégrer une fonction rationnelle

/(a:, sJx-^Oy ^x -{- b)dxi

qui contient des radicaux du deuxième degré portant sur

deux binômes différents du premier degré.

En effet, posons

^x -f- a =z, d'où

x = z' — a, ^x -h b z=: ^z^ — a H- ô , dx = 2, zdz.

Par suite,/(j:, ^x -i- a, ^x -h b) dx devient une certaine fonction F [z, \Jz* — a -h i ) dz ^ qu'il est possible d'intégrer d'après les méthodes exposées dans cette leçon.

IKTÉGRATIOIf DES DIFFÉRENTIELLES BINÔMES. — CAS d' INTÉGRAS ILITÉ.

348. On appelle différentielles binômes, celles qui sont de la forme

.r'"(fl 4- bx^)P dx.

On ne diminue pas la généralité de cette formule , en supposant que m et n soient des nombres entiers^ si

VINGT-MEUVIÈMË LEÇON. 817

l'on avait, par exemple, x^ Ka-^bx^) dxy on ferait x = z^^ d'où dx = 6 z'^ dz^ et la question serait ramenée à chercher l'intégrale de 6 z^ (a -I- bz^y dz^ différentielle dans laquelle les exposants de z , hors de la parenthèse et dans la parenthèse , sont des nombres entiers.

On peut de plus supposer /i ^ o , car si Ton veut intégrer x"" [a'\- bx'^'Y dx^ il suffit de faire a: == - pour ramener cette intégration à celle de ^~'"~* (a -h bz")P dz^ où l'exposant de la variable , dans la parenthèse , est positif.

Quant à ;?, on doit le supposer fractionnaire. En effet, si p était un nombre entier positif, on aurait, en développant (a + bx^y, un polynôme entier , et si ;? était entier et négatif, on aurait une fraction rationnelle; dans ces deux cas, l'intégrale s'obtiendra par les procédés qui ont été exposés dans les précédentes leçons.

349. Pour trouver d'autres cas où la dilBFérentielle x"' (a -h bx^'Y dx puisse être intégrée, posons

a -h bx" = z , d'où résulte

La différentielle devient alors

nb \ b )

m-hi

et l'intégration pourra se faire si

(i) = un nombre entier.

3i8 COURS d'analyse.

En eflFet, si la fraction p= -> en faisant 2 =r, on

sera ramené au cas d'une fonction rationnelle. L'intégration sera donc possible.

On trouve un autre caractère d'intégrabîlité , en écrivant la différentielle binôme sous cette forme :

La condition qui vient d'être trouvée devient pour cette formule , 5 ou

(2) h/> = un nombre entier,

condition qui pourra être remplie , quand la première ne le sera pas.

\ Par exemple, pour la différentielle x* [a 4- bx^Y dx ,

on a

et la deuxième condition d'intégrabilité se trouve seule remplie.

RÉDUCTION DE l' EXPOSANT DE X HORS DE LA PARENTHÈSE.

350. Comme il n'est pas possible, en général, d'intégrer la différentielle binôme a:" (a -H bx'^Y dXy il faut la ramener à d'autres intégrales plus simples^ on y parvient au moyen de l'intégration par parties. On a

I .r" (a -h bx^y eix=: I jc^-»-' {a H- ô.r»)P j:»-' dx = j udv^

en posant

ia H- bj^)P-^' nb[p-^\) '

VINGT-NEUVIÈME LEÇON. Sip

et , par suite ,

1 af*(a -^ bx^)P dx

cH-ôj:")/'+' /yi— .,14-1 r , , , , nb{p-\-i) nb[p'\~\)J ^ ^

La nouvelle intégrale contenue dans cette formule sera plus simple que la proposée lorsque m sera positif et > n , et que p sera négatif, car alors p -+- i aura une valeur absolue <lp. Mais on peut trouver une formule dans la quelle l'exposant de x hors de la parenthèse soit seul diminué. En effet, on a identiquement

= ax^-'' (a -h bx")P -h bx^ (a -f- bx")P, Par conséquent, en intégrant on aura

/ x^'^(a-i-bx^)P-^'dx=za jx"-^{a-^bx")Pdx^b fx^ (a-4^bx^)P dx. Substituant cette valeur dans l'équation (a), on aura / x^{a-\- bx")Pdx

Par suite, en transposant le dernier terme et réduisant,

il x^{a-j-b.7c")P d.v - b{m + np^i) - b{m^np-^i) J •^-"(«+^^/^-.

L'intégration de oT (a -h bx'')P dx est ainsi ramenée à la recherche de

1 X'"-" ( n -I- bx" V (Ir )

on fera dépendre celle-ci de

et ainsi de suite, en sorte que si m est positif et plus grand que n , en désignant par / n le plus grand multiple de n qui soit inférieur à m , on sera ramené , après un nombre 2 de réductions , à Tintégrale

'■" {a -Jf b:xf)P dx„

Si Ton avait m — in = n — i , cette dernière intégrale pourrait s'obtenir immédiatement, car elle deviendrait

.r"-' ( a -h bx^y d.T = ^-— I^^ ^ -f- C.

Mais l'égalité m — în = n — i revient à =i-|-i,

c'est-à-dire que la première condition d'inlégrabilité est alors remplie.

Lorsque »;? H- » -H i = o , le second membre de (A) prend la forme oo — oo , et cette formule devient illusoire. Mais dans ce cas, comme \-p est égal à o,

c'est-à-dire à un nombre entier, on retombe dans le second cas d'intégrabilité , et Tintégrale peut s'obtenir directement.

RÉDUCTION DE l' EXPOSAIS T DU BINÔmE.

351 . Dans la transformation (A) la réduction a porté sur l'exposant de x hors de la parenthèse, tandis que le facteur {a -+- ix")'' ne changeait pas. On peut maintenant au contraire, laissant le facteur :r"* invariable, ramener la recherche de l'intégrale proposée à celle d'une intégrale dans laquelle l'exposant de [a -h bx"y sera diminué d'un certain nombre d'unités.

VIKCT-NEUVIÈME LEÇON. 32F

En effet, comme

x^ (fl -h bsr^y dx=: (a -^ bx^Y d >

on aura, en intégrant par parties,

i af" [a '\- baf^y dx

Par cette formule , l'exposant du binôme a + ha^ a bien été diminué d^une unité, mais l'exposant de x hors de la parenthèse a été augmenté de n unités. Pour réduire ce dernier exposant, on change dans l'équation (A) m en m -h », et p en ;? — i ^ il vient

a^" {a -\- baf^y-' dx

par suite, en portant cette valeur dans l'équation (6) ,

3if^{a-^baif'y d.T

x^-^' {a 4- bx^y npjtf"*-' {a + bx^y

/w-f-i (/w H- i)(iw -f-/a/?-i-i)

^^ i ^[a-^ba^y-'d.T,

b [np H- m et, en réduisant,

1 1 X"' {u -^ bx^y dx

^ ^ \ ,1^' [a -^ bx'^y anp C ,

Au moyen de cette formule , on ôtera successivement de p toutes les unités que contient cet exposant.

352. La formule (B) deviendrait illusoire si Ton avait /î/? -f- /w -h I =r o :

mais alors on retomberait dans le second cas d'intégrabîlité, et l'intégrale cherchée s'obtiendrait directement.

En résumé , l'emploi des formules (A) et (B) fera dépendre l'intégrale / x"" [a -+- bx^Y dx^ quand m est ]> o et ^ > o , de l'intégrale plus simple

j.m-111 ( ^ ^ ha^)P-'' dx ,

in étant le plus grand multiple de w, inférieur à m, et /r la partie entière de^.

Par exemple, on ramènera l'intégrale

a:' ( fl -h bx^ y dx\

à / X [a -\- hx^Y dx ^ en la réduisant successivement, par la formule (A) , aux suivantes :

et cette dernière , par la formule (B) , aux suivantes :

/ ^(fl-h bx^y dxy / ^(« -hbx^y dx.

FORMULES DE RÉDUCTION DANS LE CAS OU LES EXPOSANTS m Y.T: p SONT NÉGATIFS.

353. Quand m et p sont négatifs, les formules (A) et (B) ne réduisent plus la différentielle binôme 5 mais on peut en déduire deux nouvelles formules , qui opèrent la réduction dans ce cas. Occupons-nous d'abord de la réduction de l'exposant de x, hors de la parenthèse.

VIWGT-NEUVIÈME LEÇON. 3^3

Pour cela, tirons de Féquation (A) la valeur de l'intégrale 1 ocT"" [a -h bx^y dx ^ ce qui donne

I x"*-" (a H- bx")Pdx

(,„ — „4.i)a i^m — n + \)aj ^ '

Ensuite changeons m — «en — m ou m en — m + n: nous aurons

lx—[a + bx-)Pdx= -A i^

Par l'emploi répété de cette formule, l'intégrale cherchée pourra être ramenée à la suivante :

dans laquelle in représente le plus grand multiple de n contenu dans m .

Si l'on avait

la dernière intégrale deviendrait

/, V , (a^bx^V-^' j^-« [a H- bx^Y dx = ,, \ - 4- C.

nb{p + i)

Mais comme on a

= — / = un nombre entier,

on retombe dans le premier cas d'intégrabilité.