FONCTIONS QUI SE RAMENENT AUX' FONCTIONS ALGÉBRIQUES

357. On ramène aux fonctions algébriques, par une simple substitution , les intégrales qui renferment sous le

signe 1 une fonction algébrique d'une transcendante,

multipliée par la différentielle de cette transcendante : telles sont les intégrales

jf{e')e'd.T, jf[a')a'dx, j/(te)^, //(sin.)cos..., y>(cos.)sin...,

/, ^ dx C r, s d^ /{arc sin^)-— =5 I /(arc tango:) iv-

Par exemple , si Ton veut obtenir

dx

J(te)-

on posera Ix = z^ d'où — = dz ^ et, par suite ,

/dx C z""^'

ou / (\x)"— = ^-^ hC.

TRENTIÈME LEÇON. Jî^

INTÉGRALE DE Z'^Pdx.

358. Cherchons maintenant à intégrer une fonction telle que z'^PdXj z étant une fonction transcendante de X. Posons, à cet effet,

on a , en intégrant par parties , 1 z" P rf.r = / z« rfQ = Q z» — « / z«-' Q dz ,

/ z"'"Qdz= / z"-'/^R=Rz"— — (« — i) j z^-^Kdz,

I zr-'Kdz= I 2"-'^S= Sz"-» — {/i — 2) / z^-^Srfz. ..;

par conséquent , on a

(A) I z''Vdx = Qz" — «Rz"-' •+■/?(« — 1)83"-'

La loi de ce développement est évidente. On voit que si n est un nombre entier positif, et si Ton sait obtenir les intégrales désignées par Q , R, S, etc., on aura ainsi l'intégrale cherchée 1 z"Pdx,