VI

J VI — a:^

T= f 'Zl^ = \/i — ^\

et ainsi de suite ; la substitution de ces valeurs dans la formule (A) donnera , en groupant convenablement les termes ,

I (arc smxydx

Lorsque n est un nombre entier positif, ces deux séries se termineront d'elles-mêmes.

Si Ton pose arc sina: =z, on aura

^i — a?' = cosz, dx =z cos zdz ,

et la formule précédente deviendra

z" cosz^z

= sinz[z" — n{n — ijz^-'-f-ii (w — i) (w — 2 (« — 3) z"-*. ..] -h cosz [nz"-^ — n(n — i) (n — n) z'^K . .].

Cette dernière formule est d'ailleurs une conséquence d'une autre plus générale. On a, en intégrant par parties,

//Wcos... = /(.)sin.-//'(.)sin.^.

I /' [x) sinxdx z=z — /' [x) cos j: -h I /'' [x) cosxdx ,

/ /" (x) cos xdx =zf" {x) sin x — j/"' ( ar ) sin xdx , et ainsi de suite ; par conséquent

j/{x) cosxdx = [/(x) — /'' [x) -H/'v(^). . .]sin^ + [/'(.^)-r(^)-4-/^(^)...]cos^,

et l'intégrale pourra toujours être obtenue si/(a:) est une fonction algébrique et entière.

360. Quand n est un nombre négatif ou fractionnaire, le développement (A) renferme un nombre infini de termes; il faut alors recourir à des artifices pour avoir l'intégrale.

Exemples. 1°. / ?

n étant un nombre entier positif : on a , en intégrant par parties ,

/c'dx e' i r dz =3 -4-- I e* • z" (/? — 1)3"-' ' /i — I J z"-'

Au moyen de cette formule, ou fera dépendre l'intégrale cherchée de la suivante :

qu'on n a encore pu obtenir qu'au moyen d'une série d'un nombre infini de termes.

La même formule, dans laquelle on posera z = la:,

/dx , Cdx [\xY J\x

e^ xdr.

/ff

posons

! -\- X = z, d'où .r = z — I ;

l'intégrale proposée devient alors

En intégrant par parties , on aura

et , par suite ,

/e'xdx I e' e'~' e'

(i -h xy ~" e 3 *"' "7~ "^ i-h j?"