Si l'on pose s\nx = z^ d'où

cosx = (i-- 2')' et ^ = ^z(i— z')~%

on a

d'où Ton voit que si n est un nombre entier impair, positif ou négatif, on pourra intégrer, quel que soit m. On

verra de même , en faisant cos a: = z , que l'intégration pourra se faire, quand m sera un nombre entier impair^ positif ou négatif.

Dans tous les cas , quels que soient m et n , on peut ramener cette intégrale à d'autres intégrales plus simples au moyen de l'intégration par parties. On a, en effet,

I sin"* X cos" ûcdx == I ces"""' .r sin" x cos a:d.x

= I cos"""* X sin*" xd ( sinx ) = / ces"*"' xd et par conséquent

sin"*"*"' X

: cos"""' X

1 I sm""^' X cos"""' xdx,

-I m -hi J

On pourra employer cette formule lorsque m sera négatif, parce qu'alors /w -f- 2 aura une valeur absolue moindre que m. Mais on peut obtenir une formule dans laquelle l'exposant n seul sera diminué de deux unités*

Pour cela, observons que Ton a

sin"*"^* .r cos"~' X =z sin'" x(i — cos* x) cos"~* x, ou

sin'""^' X cos"""' X =z sin" x cos""** x — sin" x cos" x , d'où

I sin'""'"*Jî cos^~^xdx = 1 sin^-r cos'^^^xdx

-Jsi„".cos.x...

Substituant celte valeur dans la relation ((3), il vient

sin""*"' X

sin'" x cos^xdx •= cos"""' x ■

H I i sid!^ X co^^"'' xdx — f sin^xcos".^^^:) 1

TRENTIEME LEÇOK. M^J

OU bien, en réduisant,

Il sin" j? cos^jcûte J zzz 1 I sm'^o: cos"~*xdjc.

Ainsi I sin"* xcos'^xdT est ramenée à i sin*" j: cos"~* o:^.

On ramènerait de même cette dernière intégrale à

I sin"*cos"~*a:€£i:, et ainsi de suite; en sorte que si n est

un nombre entier positif , on sera conduit à Tune des deux

intégrales / sin"'xdx^ ou I sin"* cos a: Jx , suivant que n

est pair ou impair, intégrales qu'on sait obtenir quand m est un nombre entier positif. En effet, nous avons indiqué plus haut (n*' 366) le moyen d'obtenir I sin"xdjr, et d'un autre côté on a

r • « r ' r • « ^ • sin-^'* ^ f sm^x cos xdjc = I s\n"*xd smx = 1- C.

J J w-Hi

368. La formule (B) devient illusoire quand m = — »; mais, dans ce cas, la formule (P) donne

/tane*+*x /*

Changeons maintenant m -4- 2 en m ou m en m — 2 5 et résolvons par rapporta f tang^xdx: il vient

Cette formule sert à réduire l'exposant de tang x , et conduit, selon que m est pair ou impair, à

I «/x == x + C, ou à I tan^xdx = — 1 cos x 4- C .

, 369. La formule (B) fait porter la réduction sur l'ex- I. 22

posant de cos j?. Mais on peut-en obtenir une autre qui réduise Texposant de sin x en remplaçant x par - — x, m par n^Xn par m dans la formule (B) , ce qui donne

Ic , •^ sm'^'xcos"^'* m-'i r, = 1 I sm'"'"*.rcos".rrfa:.

Cette formule servira à réduire Texposant de sin x lorsque m sera positif. Si n est un nombre entier pair, on a vu qu'au moyen de la formule (B) , on ramenait l'intégrale proposée à l'intégrale i sin^xdx. Maintenant au moyen de la formule (D), on la ramènera, si m est impair, à Fintégrale l sin xdx = — cos je -h C, et si m est pair,

à Tint^rale l dx = xr + C Donc lorsque metn seront

entiers et positifs , il sera toujours possible de trouver l'intégrale

sin'".r cosTxdx,

370. Les formules que nous venons d'obtenir ne pourraient être employées dans le cas où l'un des exposants m et n^ ou tous les deux, seraient négatifs. Mais on peut en déduire d'autres, qui permettent de faire les réductions dans ces derniers cas.

Supposons m négatif, n étant positif ou négatif; eu remplaçant m par — m -h 2 , dans la formule (D) , et en résolvant par rapport à l'intégrale qui est dans le second membre, on aura

, , Cco^dx cos"~"* X m -\- n --^11 C cos"^ ,

(E) i = . __ 1 / dx :

^ ' J sin'"a: \m — i) sm**"*a: m — 1 J Sln''^^r l'intégrale proposée se ramènera donc à 1 cos^'xdx ou à dxy suivant que m sera pair ou impair.