On peut quelquefois reconnaître si Tintégrale

a une valeur finie quand b devient oo .

Supposons b très-grand, mais non infini : en appelant k une quantité comprise entre a et & , on a

I f{x)dx=: I f[x)dx-^ / f{x)dx.

a Ja Jk

Puisquey(a:) ne devient pas infinie, la première partie de l'intégrale est une quantité finie 5 il suffit donc de

savoir si l'autre partie i f[x)dxe%l finie. Mettons f{x) sous la forme

X3 [x) désignant une fonction qui reste finie pour toutes les valeurs de x plus grandes que A. Soit M la plus grande, et 772 la plus petite des valeurs de n (x) , pour toutes les • valeurs de x plus grandes que h : on aura

On aura donc

ou

J/(.r)^^<Mjr \

Or^ si 72 est ^ I, le dernier membre de celte inégalité se

Mi r^

réduit, pour i = oo , à — — -— . Donc / f{oo) dx

dans ce cas, une valeur finie. Si n est <[ i, on aura

ou

Or, I — n étant positif, le second membre de celte inégalité devient infini pour J = oo : donc i f{x) dx^ et

par suite i f[x) dx est infinie pour i = oo . Enfin , si /2 = I , on a

jfVw^>»j['Ç=»i(|)-.

\i-j\ =00 quand i = oo : donc

1 /(.r)dx=zco .

Jk

La même remarque s^ applique à l'intégrale (' f{x)dx,

quand on peut mettre /(a:) sous la forme-— -i tt (x)

restant finie pour toutes les valeurs de x comprises entre — 00 et une certaine quantité moindre que h : cette intégrale est fi.nie si n est > i , et infinie si n est ^ i ,

mais

TRENTE-DfiïJXïÊME LEÇON. 353

INTÉGRALES DANS LESQUELLES LA FONCTION SOtJS LE SIGNE DEVIENT INFINIE ENTRE LES LIMITES DE l'inTÉGRA-