Dans le cas o\xf{x) devient infinie pour x = b

on définit 1 f{x) dx comme étant la limite de Tinté* / f (a:) rfx, lorsque s décroit jusqu'à o»

De même, si/(a) =00 , o n défini t i f{^) dxx:ora^ pl^^ù

me la limite de / / {x) dx^ quand t décroit jusqu'à o»

Enfin, siy (c) est infinie ou discontinue^ c étant une quantité comprise entre a et è , on pose par définition

f f{x)dT=\im f '/{x)dx + Vm f f{x)dx,

quand ç et y? décroissent jusqu'à Ow

On voit, d'après cela, comment il faudrait définir

I f(x)dxjsif(x) devenait infime ou discontinue^

pour un plus grand nombre de valeurs de x comprises entre a et b,

385. Quand la fonction f{x) devient infinie à l'une des limites ou entre les limites , On peut souvent recon* naître si la valeur de l'intégrale est Jinie ou injinie. Supposons par exemple,/" (i) = 00 : soit

n étant un nombre positif efnlx) une fonction qui ne >^ devient pas infinie , lorsqu'on fait xSb. Appelons maintenant k une quantité comprise entre a et & et aussi rap- L 23

hh

procliée de b que l'on voudra; on a

Ç f[x)dx=z f /(x)dr^ f f{.T)dx.

Ja Ja Jk

Or I f(x)dxa. une valeur finie. Il suffit donc de

savoir si / f {x) dx est unie.

Désignons par M et m deux constantes entre lesquelles

^n^^^ r.(x) reste comprise, lorsque x varie de k k b. On aura

^r pour ces valeurs de a:,^i /i est -< i^

. v par suite ,

Or, quand e tend vers o , le second membre de cette inégalité tend vers la valeur finie -— - (b — A) ^ "" . Donc ,

f(x)dxj et, par suite,

f f{x) dx^ a une valeur finie.

Je dis maintenant que , si l'on a w > i , l'intégrale proposée est infinie. En effet on a

par suite ,

m Tj I 1.

n étant une quantité > i, lorsque e tendra vers zéro, le second membre deviendra infini. Donc, à fortiori» h f[x)dx tendra vers l'infini.

Il en serait de même si Ton avait 71=15 ^^^f ^^ l'inégalité

on déduit

Le second men^re devient infini quand s s'annule; donc f(x) dbr^et, par suite, J f(x) dx elle-même

sera infinie.