INTÉGRATION* PAR SÉRIES

388. Étant donnée une différentielle /*( a: ) dx^ si Ton peut exprimer y (x) par une série convergente

on aura, en multipliant par dx^ et en intégrant en Ire deux limites a et t ,

' /{x) dx = I u^dx-^ I «3 ^.r H- . . .

a Ja Ja-

Si la série (i) est convergente pour j: = a , a: = i et pour y TC toutes les valeurs d e^i co mprises entre a et &, on peut ^ supposer r„ <[ e , e étant une quantité aussi petite que Ton

veut, pourvu que n soit assez grand. Dès lors

I r^dx < 1 tdx, a Ja

OU

/ r^dx<C^t{h — a).

Donc I r„ dx décroit jusqu'à zéro quand n augmente jusqu'à l'infini. Il en résulte que la série

Jr* b r*h /%h /*b

I Uidx-h l Uidx-k- I «a r/or -h . . . -f- I tt„dr-{-... a J a Ja Ja

est convergente et qu'elle a pour somme I f{x) dx. On

peut remplacer la Valeur fixe h par l'indéterminée x, et il vient

Jnx r*x r%x

\ f[x)dx=: I Utdx-h I tt,rfx-|-. . . + . , a . Ja Ja

389. Cette formule est encore vraie pour x = fe , même lorsque la série Mi -f- '/j 4- Ws ■+- . . . , convergente quand x est moindre que t, devient divergente pour X = bj pourvu que la série (2) soit encore convergente. En effet , quelque petite que soit la quantité positive e , on a

Jr b — e fb — e pb^i pb — s

a Ja Ja Ja

Or les deux membres étant des fonctions continuer de x , y qui ont constamment la même valeur, leurs limites pour

TRENTE-DEUXIÈME LEÇOJ». SSp

€ = o doivent être égales. Donc

/(.r ) dx= j Uidjc -h j Uidx -h j u^dx -\- . . . , a J a Ja Ja

390. En général, si la formule de Maclaurin donne pour f{x) une série convergente ,

on aura

//(x) di: =C 4-*/(o) + — / (o) 4- ^-^/' (o) -h. . . .

Si l'on veut en déduire l'intégrale définie i f{x) dx^

c'estrà-dire si l'on veut que l'intégrale commence à a: = o, ou soit nulle pour a: = o, il faut, dans ce cas , que C soit nul. On a alors

EXEMPLES d'intégration PAR SÉRIES.