APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL INTÉGRAL

Quadrature des aires planes. — Formules générales. — Quadrature de» courbes rapportées à des coordonnées rectilignes. — Quadrature des courbes rapportées à des coordonnées polaires.

FORMULES GÉjyÉRALES.

392. Soit CMD la courbe dont l'ëquatîon en coordonfig, ^^ . nées rectangulaires est y =f(x) ,

et représentons par. u l'aire ACMP. On aura, en appelante et y les coordonnées du point variable M (n« 204),

du =r ;)rdx =/( x) dx.

Par conséquent u = ff{x) dx.

Si Ton veut que Taire soit limitée à Tordonnée CA correspondant à l'abscisse OA = a , l'intégrale doit commencer à a? = a , et l'on a

/(x)dx;

X représentant l'abscisse d'un point quelconque de la courbe.

Enfin, si on limite de même l'aire à l'ordonnée BD correspondant à a: = OB = i , on a

u = aire ABCD = / f[x) dx.

Si les axes étaient obliques , il faudrait poser, en appc-

364 COURS d'amaltse.

lant 6 l'angle des axes.

aire ABCD =

= siii0 / J

f(x) dx,.

393. L'inlégrale définie est la somme des valeurs infiniment petites de la différentielle entre les deux limites a et h. Or, si l'on suppose , ce qui e&t le eas ordinaire, que dx soit positive,/ (x) «^x ou la diiTéFentielIe de l'aire sera ^'^ 7^ positive ou négative, suivant que

f[x) ou Tordonnée J sera positive ou négative. Par conséquent , l'intégrale représentera la différence entre la somme des segments situés au-dessus de Taxe des x et la somme des segments situés au-dessous , de sorte que, si l'ordonnée change de signe, deux fois par exemple, entre les ordonnées AC et BD, on aura

r / (r) d.x = ACH — HIR 4- KDB.

La somme de ces segments serait donnée par

r f[x)dx-^ f f[x)dx-\- f f{:r)dx, Ja Jh Jk

en désignant par h eik les abscisses OH et OK.

394. Si l'on voulait avoir la mesure de la surface cora- P'g- 79- prise entre les deux ordonnées

M^....^ CA, MP , l'arc CM et l'arc C M ' d'une autre courbe y = (f{x)^ on aurait

aireCC'lVrW=-- f%'ri^- r / d.r z= j {y-y)d.r.

Ja Jn Ja

TRENTE-TKOÏSÏÈME LEÇON.

EXEMPLES DE QUADRATURES DE COURBES RAPPORTÉES A DES COORDONNÉES RECTILIGNES.

395. Soit d'abord, comme exemple de la théorie précédente, une parabole quelconque y'^ = p.r"*, m et n étant positifs. Soit aire OMP = w 5 on a

I m du z= ydx = p*^ .r" dx^

d'où

donc

Ce résultat peut s'écrire

Orx^ représente l'aire du rectangle OPMQ construit sur les coordonnées du point M. On a

OMP : OPMQ = /î : /w -f- w,

OMP:OMQ = «: /«.

Ainsi la parabole partage ce rectangle dans un rapport constant, de ni m,

396. Réciproquement, il n'y a que les paraboles qui jouissent de cette propriété. En effet, la proportion précédente peut s'écrire

d'où

ul xy — u:=. n l m^ {m + n) Il = nxy.

Par conséquent, on doit avoir

[m -I- n) du ■=. nxdy + nydx^

366 COURS d\nalyse.

ou, puisque du ^=:.ydx^

[m 4- n)ydx = nxdy -f- nydx^ ou enfin

mydx = nxdy*

Ce résultat peut se mettre sous la forme

d'où, en intégrant,

/zlj = /w1^-HC, ou l/" = l^-f-C.

Mettant C sous la forme 1;?, il vient, pour l'équation générale des courbes qui possèdent la propriété dont il s'agit,

Dans le cas de la parabole ordinaire y^ z=px^ on a n = 2 , w = I , et par suite

397. Considérons, en second lieu, une courbe du genre ^*S' 8 1 . hyperbole donnée par l 'équation

m et n étant deux nombres entiers positifs. On n'a représenté dans la figure que la branche si- "~ tuée dans l'angle y Ox, et qui

a pour asymptotes les deux axes.

On peut supposer « > m. Soient u = ACMP, OA = a, OP = X. On a

XX /» x

ydx= / p" .r "r/.r,

et, en efïectuant l'intëgration ,

I / n — wt n — iw\

On voit que si x augmente jusqu'à l'infini, Taire ACMP augmente aussi jusqu'à l'infini. Mais, au contraire, si, laissant MP fixe, on fait décroîtra a jusqu a o, la surface augmente continuellement, mais en restant toujours finie , et à la limite, quand a = o, cette aire se réduit à

Ainsi la surface ÂGGH tend vers une limite finie, à mesure que le point G se rapproche de plus en plus de l'asymptote Oy.