I ^TO

Gette limite étant égale à p^ x.x "ou bien à

xy^ est dans le rapport constant de n à n — m,

avec le rectangle OPMQ = xy. On a donc la proportion

u\xy := n\n — m ,

en désignant par u l'aire indéfinie qui cependant a une valeur finie.

398. Réciproquement, il n'y a que les courbes comprises dans l'équation x"^y^:=p qui jouissent de cette propriété. En effet , on déduit de la proportion précédente

tt ( 72 — /w ) = nxy.

D'où, en différent] an t

( 72 — m ) diir=: nxdy -f- nydx^

OU comme du=iydx^ il vient en réduisant et divisant par^ry,

dx dy

Donc 5 en intégrant,

n log jr = C — m log x , ou bien , en faisant C = 1 p ,

d'où arf-=.p.

Dans le cas particulier où m = n^ Téquation

revient à la suivante

a:r=Py

qui représente une hyperbole équilatère du second degré. On aura

^ =:^, donc ydx z=zp — ^

et, par suite ,

« =/? Ix + C = ^ l -•

Si /> = I , a = I , on aura

c'esf-à-dire que Taire est égale au logarithme népérien de l'abscisse (n^' 208, 2°).