Pour Y hyperbole, dont l'équation est
Fig. ^.
l'aire du segment AMP est donnée par la formule
b iC" ,
En intégrant par parties , on a
■ dx = X \ .7
Mais
x} dx
=z I dr ^.r' — a' -f- «' / , "^^ ■»
et(n«:U3, i«)
on a donc
dx s].x^ — a^ = — ^^ l (.r -h V-^^' — «^ ) -h C.
On déduit de là
AMP = ^ Il I •
403. Comme dernière application , considérons la cycloïde AMD engendrée par le mouvement du cercle ANB roulant sur la droite BD. Prenons pour origine des coor- Fi§. 85. données le sommet A, et pour
axes la normale et la tangente à la courbe en ce point. L'équation différentielle de la cycloide est alors
dx
aire AMP == I ydx = j dy \liay— /«.
Menons MQ perpendiculaire à AB , et soit AQN le segment déterminé par MQ dans le cercle ANB. En observant que QN = sl'^aj — y^^ nous avons
segm. AQN =1 dy \j7.ax — y' :
TRENTE-TROISIÈME LEÇON. ^yi
donc
AMP = segm. ANQ.
Si Ton fait a: = tt «, et par conséquent j^ = 2 a , on aura
ADG = — -.
Retranchant cette aire de Taire 2 7ra* du rectangle ABDG, et doublant, on aura
2 aire AMDB = 3na^', c'est-à-dire que Vaire compnse entre un arc de cycloïde et sa base est égale à trois fois Vaire du cercle générateur,
