Si u désigne Faire du secteur COM, on aura
Fig. 86. ,
/' et étant les coordonnées po- T lai res du point M; par suite,
a = - Çr^dfi,
cette intégrale ayant pour limites les valeurs de Q qui correspondent aux points C et M.
405. Soit comme application la spirale logarithmique, dont l'équation est
u = — le dQ=:-. — ^^'"^-f-C^T hC.
Fig. 87.
Posons OC = r\ et faisons dans la formule r= r'\ il vient
par suite ,
Si le point C se meut en rétrogradant sur la courbe, le rayon vecteur OC décroît jusqu'à o, et Taire du secteur
tend vers la limite -, — 4 rn
406. La quadrature des aires curvilignes est quelque- ^'^- 88 fois rendue plus facile par l'em-
ploi des coordonnées polaires.
Pour en donner un exemple, soi t la courbe qui a pour équation
( I ) .r' -f- ^3 — axy = o.
Cetle courbe, connue sous le nom de folium de Descartes , se compose de deux branches infinies qui se traversent mutuellement à l'origine, et qui ont pour asymptote commune la droite dont l'équation est
Quand on conserve les coordonnées primitives, la question qui nous occupe exige la résolution d'une équation du troisième degré j mais si l'on prend l'équation polaire de la courbe , en plaçant le pôle au point O , on n'aura jamais qu'une seule valeur du rayon vecteur pour une direction donnée 5 car Torigine étant un point double, l'équation devra être satisfaite pour deux valeurs nulles de r, et par conséquent le premier membre sera divisible par r^. *
Si l'on prend Ox pour axe polaire, il faudra remplacer X par r cos Q et y par r sin dans l'équation (i) . ce qui ïlonnc
r^ (cos" -h sin^ 0) — ar^ sin 9 rosô r= o,
TIIKWTK-TUOISIÈME LEÇON. '^'J^
OU bien, en supprimant le facteur r* et résolvant par rapport à r,
asind CCS 9
sin^ô + cos^O D'ailleurs, u désignant Taire du segment OAM, ou a
r'rfÔ.
Donc, en remplaçant r par sa valeur, nous aurons ~^2 ; (cos^Ô-f-sin^Ô)' 2 J^ iios*9{i
ou bien
dB
^ ces'
(i + tang-^0)'"
Pour trouver cette intégrale, posons
dB 1-4- lang'Ô = z, d'où ^z=3tanc'0 -,
et , par suite ,
dB
/tang- B (i -f- ta
^ ces' I Cdz I
