L'intégrale I rf<p y/i — e'sin'ç est une fonc

38o COURS d'analyse.

lion transcendante dont la valeur ne peut être obtenue que par un développement en série. La formule du binôme donne

( I — e?' sin' «p )* = I e- sin' © -= e^ sin* ©

On a alors pour l'arc BM

I e"^ j d <f sin' <p y e* j cl r^ sin' «p

Les intégrales du second membre s'obtiendront en substituant (fkx dans la formule (G) du n*' 371, ce qui donne

/COSœr . W — I .

sm*" ^d(ûz= sm"-' <p H sin'""^ © ^ ^ //i L /w— 2 ^

Ou ne met pas de constante arbitraire parce que cette intégrale doit commencer à zéro.

411. Si Ton veut avoir le quart de Fellipse, il faudra faire y = ~ dans toutes les intégrales. Cette substitution

effectuée dans la formule ( 2 ) donne

., . , . .3.5. . .(/71— 3)(/W— l) TT

sin"' (pd(o =

« On aura alors

TZ I „7^ II .I.StT I.I.3 I.S.StT

et par suite

série convergente, et d autant plus convergente que e est plus petit, ou que a diffère moins de h. Lorsque Tellipse s'écarte peu du cercle décrit sur le grand axe, il suffit de calculer un petit nombre de termes de la série.

412. On aurait pu parvenir à ce résultat sans recourir à la formule (2). En effet, si, dans la relation

/siD-^wcDS© , m— I r. ^, , sin'"q)e/(p = : ^--\ ; — ^ Ism'^'cpfi?^,

on prend les intégrales entre les limites zéro et - 9 on

aura

Jo t/O

On aura de même

Par suite, en multipliant toutes ces équations terme à

Xerme, on aura ,

et substituant dans la valeur de 5, on retombera sur 1<» résultat déjà trouvé.

413. Il est facile de trouver sur la figure F angle y donné par l'équation

X = fl sin y .

Or, si Ton décrit sur le grand axe de Tellipse comme diamètre une circonférence {fig* 83, page 370) et que l'on joigne ON, on aura

OP=:c = ONcosPON= flsinCON; par conséquent l'angle CON est l'angle y.

RECTIFICATION DE l'hYPERBOLE.