CUBATURE DES SOLIDES DE RÉVOLUTION

MQ, Soit V le volume engendré par la révolution de Taire plane CAMP tournant autour de l'axe Ox, En donnant à a: un accroissement Ax = PP', le volume V prendra un accroissement AV égal au volume engendré parMM'PF.

Or, en supposant que y croisse constamment dans l'intervalle MM', AV sera compris entre les volumes des cylindres engendrés par la révolution des rectangles MIPP, KM' PP' -, nous aurons donc , en désignant par Y l'ordonnée M' P',

OU bien

Fig- 90-

AV Le rapport — est donc com-

pris entre deux quantités qui convergent Tune vers l'autre, à mesure que Ax décroît^ par conséquent on a^ à la limite,

ou bien

^ = 7r / x'dr

U faudra donc tirer de l'équation de la courbe la valeur de y en fonction de a:, et intégrer entre des limites qui correspondent aux extrémités de l'arc générateur.

417. Le volume engendré par J'aire CMM'C est la différence des volumes engendrés par les aires CMPA et CJW PA.

Alors, en désignant MP par y et M'Ppar j', on a

Pi§- 9»-

!jr

OU bi(?n

V = îr Ç[y'-y")dx.

CUBATURE DE l'eLLIPSOIDE DE RÉVOLUTION.

418. Soit V le volume engendré par la révolution d'une ^^' 92. portion AMP d'ellipse tournant

autour du grand axe. L'équation de l'ellipse rapportée à son axe et à la tangente au sommet, est

par suite,

Si Ton fait jî= aa, on aura le volume de l'ellipsoïde entier, savoir

^ ^b*(, , San 4 ,,

Pour obtenir le volume engendré par la demi-ellipse tournant autour du petit axe , il faudra changer 6 en a et a

en i , ce qui donnera ^Tta'i : on voit que ce volume est plus grand que le premier.

TKENTE-CINQUIÈME LEÇON. SSy

En faisant b = a dans ces formules , on trouve - Tra^

pour le volume de la sphère , et ^^ pour le volume d'un segment sphérique à une base.

VOLUME ENGENDRÉ PAR LA RÉVOLUTION d'uNE CYCLOÏDE.

419. Prenons pour axes la tangente au sommet et la % 9^ normale en ce point. Considé-

rons le solide engendré par le segment AMP tournant autour de Taxe Ax.

L'équation différentielle de la — ^ cycloïde étant (n** 401 )

on aura

y zzz'K \ ydy sj'x ay — /% •/o

ce qu'on peut écrire

La première intégrale représente la surface du segment AQN (n*^ 401). Pour obtenir la seconde, posons ^ay r*=5J, d'où 2 (a — y)^y =^dz : nous aurons

et, par suite,