V .= Tza segm AQN •^^{^ay —y
Le volume engendré par AQM tournant autour de Ax,
s'obtiendra en calculant la différence des volumes engendrés par le rectangle APMQ etla portion de surface AMQ.
VOLUMES QUI PEUVENT s'OBTENIR PAR UNE SEULE INTÉGRATION .
420. On peut encore, par une seule intégration, obtenir le volume d'un corps lorsque Faire de la section faite dans ce corps par un plan parallèle au plan yOz est fonction de la distance de ces deux plans.
Supposons d'abord les axes rectangulaires : soient u et Il H- Au les sections faites dans le corps par deux plans P ^^ 94 et ?', parallèles au plaù
yOz^ et dont les distances ^^^^'X,^ à ce dernier sont respecti-
\ vement j: et o: -h Ax. L'ac- ) ^ croissement A V du volume y correspondant à l'accroisse-
4 "^^^ ment Ax de l'abscisse , sera
compris entre les cylindres droits qui auraient pour bases respectivement « et m -h Aa, et A x pour hauteur 5 c'est-à-dire que Ton a , en supposant Au positif,
«A«<:; AV<;(tt-hAa)^^>
d'où
Or, k la limite, Au est nul 5 on a donc
— = M, OU dV z= udJc.
Cette démonstration suppose que les deux cylindres ne se coupent pas. Si ces deux cylindres se coupent, ils ont une partie commune qui a pour base u — a , a étant une quantité très-petite, et qui s'évanouit en même temps que Ax. De même, cette partie commune augmentée des par-
TRENTE-CIHQUIÈME LEÇON. 38g
lies excédantes de part et d'autre, forme un cylindre qui a pour base u -|- ê , 6 s' évanouissant avec Ax, Or A V est évidemment compris entre ces deux quantités : par suite
et en passant à la limite ,
dV
— z=z u, OU dV = ndx.
Le volume compris entre deux plans parallèles k yOz menés à des distances a et fe, s'obtiendra donc par la formule
ud.v.
Pour obtenir le volume du corps entier, il faudra mener des plans tangents parallèles hyOz^ et prendre pour limites de l'intégration les distances de ces plans au plan yOz.
421. Supposons maintenant que l'axe Oj: ne soit plus perpendiculaire au plan des sections. En comparant le volume compris entre deux plans parallèles kyOz et la surface, avec un cylindre oblique qui a pour base u et pour hauteur la distance des deux plans représentée par dx sin X, X étant l'angle que font les plans de section avec l'axe Ox, on a alors
dY = udxsiD > , d'où V = sin X^ udx.
On pourrait facilement démontrer cette formule avec la même rigueur que la précédente, mais nous croyons inutile de nous y arrêter.
422. Soit, par exemple , un cône à base quelconque : prenons pour axe des x la perpendiculaire OC, abaissée du sommet sur la hase, et pour plan dcsyz un plan mené par
Sgo COURS d'abtalyse.
le sommet parallèlement au plan de la base ; appelons h la Pig- 9^ hauteur du cône et b sa base. En
menant à une distance OP = x ^^ un plan parallèle kjOz^ l'aire de la section sera, d'après un
théorème connu, u = -^. Donc
et en faisant x = A, on a, pour le volume du cône -,-•
423. Soit encore un ellipsoïde rapporté à ses axes principaux ,
La section GPH faite dans l'ellipsoïde par un plan paral- Pig' 96- lèle auplan jOz, mené à la dis-
tance OP = Xj a. pour équation
^ On aura, pour ses demi-axes , en faisant successivement z = o ,
De sorte que Taire de la section est
^bc(^l^Çj::='^{a^-^x^),
d'où Ton déduit, pour le volume V du segment compris entre les plans y 0-2 et GPH,
Pour obtenir le volume de la moitié de l'ellipsoïde , on fait, dans la formule précédente, x = a, et il vient
Le volume entier de rellipsoïde sera donc exprimé par
: TU abc ,
424. Considérons maintenant un ellipsoïde rapporté à trois diamètres conjugués obliques. Son équation est de la forme
ar» :^ il —
La sectionfaite par un plan parallèle kyOz^ à une distance égale à jr, est une ellipse ayant pour équation
b'^ ^ c'» ~ fl'» '
et les demi-diamètres conjugués auxquels elle est rapportée, ont pour longueurs
donc en désignant par 9 Tangle que font entre eux ces diamètres , on aura pour la surface de la section considérée
n = — -- fa'* — x^) sin 0.
Par suite, on aura, pour le volume du segment d'ellipsoïde ,
,^ iT^'c'sinÔsinX /*', .
it b' c' sin Ô sin \
ig2 COURS d'analyse.
et pour l'ellipsoïde entier
^ TT fl' ^' c' sin Ô sio X.
425. En comparant cette expression du volume de l'ellipsoïde à celle qu'on a obtenue précédemment, on trouve
fl' b' d sin Ô sin X = abc ,
équation qui démontre que tous les parallélipipèdes construits sur les diamètres conjugués d'un ellipsoïde sont équivalents au rectangle construit sur les axes. On en déduit aussi
Tzahc = lia' b' c' sin Q sin X ,
c'est-à-dire que tous les cylindres circonscrits à l'ellipsoïde et dont les bases sont parallèles aux plans des courbes de contacts sont équivalents entre eux.
