VOLUMES TERMINÉS PAR DIVERSES SURFACES
426. Imaginons maintenant une surface quelconque CDEF dont l'équation soit
F(X, J, z)=rO.
Supposons que deux plans parallèles h yOz^ menés aux % 97 distances O A = a, OB = i ,
coupent la surface suivant les courbes CD etEF. Imaginons encore deux cylindres droits
qui aient pour base , sur le planyOa:, les courbes RV et ST et coupant la surface suivant les courbes CF et DE. On pourrait se proposer de trouver le volume DCFERVTS, mais il vaut mieux rendre la question plus générale en
considérant une seconde surface D' G' E' F' , dont l'équation est
et chercher le volume CDEFC'D'E'F'.
Pour cela, menons à une distance arbitraire a: =OQ, comprise entre a et &, un plan parallèle kyOz^ et déterminons l'aire de la section GHH'G'. Or cette aire plane est comprise entre deux courbes dont les équations
s'obtiennent en faisant, dans celles des deux surfaces, la variable x égale à la constante OQ. Elle aura , par conséquent, pour différentielle (^ — Zi)dy^ z et z^ étant, d'après les équations (i), des fonctions de y correspondantes à une même valeur de cette variable. On aura donc, en intégrant entre les limites j^ et^i ,
aire GHG' H' = / * (z — z, ) rfj-
Ainsi z — z^ étant une fonction dej^ dans laquelle x entre comme constante, on trouvera pour l'intégrale indéfinie
(z — z,)rfj = 7r (a?, jr)-f-C.
On fera, dans cette fonction, J = <f (x) et j^ = (|; [x) successivement, X étant regardée comme constante, d'où on déduira
I (z — z.)fif/ = aireGHH'G'=7r[j:,,Kj:)] — 7r[ar,ç(ar)],
résultât qui ne dépend que de x.
En regardant de nouveau x comme variable , on aura
pour le volume demandé ,
a Ja •/ç? {x)
^ 427. Lorsque les deux surfaces cylindriques se rédui-
^ /)*v^ ^^^^ ^ ^^^ plans parallèles k zO^ ^ y (a:) et ij; (x) ne sont
'^^ /^ plus que des constantes c et e , indépendantes de la valeur OQ de a:, et la formule se réduit à
fJ a *y c
{z-^z,)dy.
428. Si la surface inférieure se confond avec le plan xy^ on aura ^i = o, et l'expression précédente devient
I dx j zdy,
ce qui donne le volume compris entre une surface quelconque , le plan xj , deux cylindres parallèles à l'axe des-? et deux plans parallèles au plan zOjr.
429. Ce qui précède peut servir à déterminer le volume d'un corps quelconque terminé de tous côtés par une surface dont l'équation F (x, y, z) = o est connue.
Imaginons un cylindre circonscrit à la surface, parallèlement à Taxe des z-, comme en chaque point (jc, J? ^) de la courbe d« contact, le plan tangent
est vertical, on a
dz
L'élimination de z , entre celte équation et celle de la surface, donne une équation
treTnte-ciwquième leçon. 395
qui représente la trace du cylindre sur le plan yOx. Cette ^- 98. courbe est, par hypothèse, une
courbe fermée, et en la coupant par un plan parallèle kyOz^on aura deux ordonnéesj- = (p (j:) et y^ = (pi (x) représentées sur la figure par QI, QK, et analogues aux lignes de même nom dans la question précédente.
De même , ce plan sécant déterminera dans la surface une courbe fermée, et si z = MP , z^ = M' P sont les deux ^
valeurs de z correspondant à la valeur y = PQ, Faire de cette section sera exprimée par
Si maintenant on désigne par a ex. b les distances du plan jOz aux plans tangents à la surface , qui lui sont parallèles , on aura pour le volume du corps
• )'ir-
iDt^rales doubles. — Intégrales triples. — Théorème sur Tordre des intégrations. — Quadrature des surfaces courbes. — Aire des surfaces d« révolution. — Application à la sphère, à Tellipsoide.
