Une intégrale double 1 dx j z/^estlali
Ja ^f (x)
>^ mite de la somme de tous les produits de la forme zAx Ay ^ entre les limites des deux intégrations.
I zdy étant l'intégrale définie de zdy
prise entre les limites (p [pc) et i|; {x) de y^ x étant regardée comme constante, on a, d'après un théorème démontré (n** 375) ,
zdy = lim > z A ^ .
Par conséquent, en multipliant par Ax et faisant varier X depuis x= a jusqu'à x=b^ il vient
zdjr =^ Ao: lim 2 z A j.
TREKTE-SIXIÈME LEÇON. 897
Or, si les valeurs de x se rapprochent de plus en plus, on a
A X f zdy z=2 \ dx \ zdy ;
Jf (x) Ja J<j) {x)
d'un autre côté, x étant regardée comme constante, dans ^z Aj^jon a
lim\^ A j:liin ^^ »A/ = lira ^ll^"^ 51^^-^ ^^^ ou bien
Donc enfin on a
ce qu'il fallait démontrer.
432. On peut d'ailleurs démontrer ce théorème par des considérations géométriques. Soit
l'équation d'une surface : l'intégrale double
zdy
représente , comme on Fa vu au n** 428 , le volume V compris entre cette surface , le plan xy^ deux cylindres parallèles à Taxe des z et deux plans parallèles au plan zOy.
Soient M et M' deux points voisins quelconques sur la surface. Construisons le rectangle Vp dont les côtés parallèles aux axes Ox et Oy soient conduits par les points P et P', pieds des parallèles à l'axe des z menées
398 couBS d'analyse.
par M et M'. Les plans MPp, mpV, M'P'p' et m'p'P ^' 99- coupent la surface suivant un
quadrilatère courbe MM': le volume V est la somme des solides analogues à MP', terminés aux limites convenables. SoitMP=z et soient z — a la plus petite, et -^ -h 6 la plus grande distance des points de la surface au plan xy dans toute l'étendue du quadrilatère courbe M wM'm'.
Le volume MP', que nous désignerons par AV, est compris entre les deux parallélipipèdes rectangles ayant pour base commune Pp' et pour hauteur z — a et ^ -f- 6 5 comme d'ailleurs le rectangle Pp'= AorAy, on aura
(z — a) AjcAy <AV<(3 — gj^AorAj, -"^
ou (3 a)<^^<(s-f-6).
Mais a et S s' annulant avec Ax et Aj , on a
Par conséquent
AV = zA«Ay (H->î),
Yi devenant nul en même temps que Ax et Aj,
Pour chaque valeur de Ax, on a une infinité de valeurs de Ay qui produisent dans le solide une tranche , dont le volume sera représenté par
2zAa:Aj(i-h>î).
Puis en faisant variera:, c'est-à-dire en prenant les autres valeurs de Ax , on a une suite de tranches dont la somme donne, quand on passe à la limite, le volume V, et par
lim = z.
Aa? Aj
TKBNTE-SIXlÈlffS LSÇON. 3gg
conséquent,
V = lim yy 2Aar A/ (i-h >ï).
Mais
Or
yy^ >i z A JT ^x = o.
En effet, en supposant tous les points M, M', etc., assez rapprochés les uns des autres, on pourra toujours faire en sorte que pour chacun d'eux on ait y? <[ e , e étant une constante arbitraire que l'on peut supposer aussi petite que l'on veut. Par conséquent
2^2>ïzAarA/<2262^*^r, ou <C^s'^l^^zàxAy.
Or cette dernière quantité est nulle à la limite , puisque £ peut être pris aussi petit que l'on veut, et que d'ailleurs
yy zAxAf a une valeur finie. Donc enfin
a Jf{x) ' ^^^^
