INTÉGRALES TRIPLES

433. SoitU=/(x, y, z) une fonction de trois variables indépendante s x^y^ z, yw^

Si l'on intègre la différentielle y (x,j^, z) dz par rapport à z , c'est-à-dire en regardant x et j^ comme des constantes , et si l'on fait varier z entre deux limites représentées par deux fonctions de x et Aej^ savoir f(j:,j^) et F (j:, j^) , on aura l'intégrale

/ /{'e,y,z)dz,

qui sera une fonction àe x elAey,

!^\fbi 11. / ^h

dy /

4oo COURS d'analyse.

Considérons maintenant x comme constante dans la fonction

/(x, y,z)dz.

Intégrons cette fonction par rapport à j^ en faisant varier y entre deux limites représentées par y [x) et (|/ [x) : on aura l'intégrale

' dy I /{x,r,z)dz,

qui sera une fonction de Jc .

Enfin , si Ton intégre la différentielle

dœ I dy \ /(^,r, 2)ûC5,

par rapport à x , en faisant varier x entre deux limites quelconques a et fe , on aura pour résultat

\ dr j dy j f{x,y^ z)dz,

a Jf(x) Jî{x,y)

cette expression se nomme intégrale triple^ on la représente aussi par

/ / \f{^,y,^)dxdxdz.

On concevra de même une intégrale d'un ordre quelconque.

On démontrera encore, dans le cas de l'intégrale triple, que

dx j dy I f[x,y,z)dz

a J<p(x) Ji{x,y)

= lira 222-^ (■''' •^' z) A^AjAz.

La démonstration étant tout à fait semblable à celle que

TRENTE-StXIEME LEÇON. 4^1

nous avons donnée pour une intégrale double , nous nous dispenserons de la répéter ici.

THÉORÈME SUR l'oRDRE DES IMTÉGRATIOJNS.

434. Nous avons obtenu, précédemment, pour l'expression du volume compris entre deux surfaces, deux cylindres parallèles à Taxe O^ , et deux plans parallèles au pian des (/, z):

Ici l'ordre des intégrations n'est pas indifférent. Ainsi, l'on n'obtiendrait pas , en général , le résultat cherché par la formule

f (x) Ja

Toutefois , si (f (x) el^ (x) sont des constantes a ' et b\ c'est-à-dire si les deux cylindres parallèles à F a xe des z TN" se réduisent à deux plans , il sera indifférent de commencer par l'une quelconque des deux intégrations; car, en répétant les raisonnements du n** 426, on voit que le voltune en question a tout à la fois pour mesure l'une quelconque des expressions

I da: \ [z — z')dr ou i dy l [z-^z')dœ.

a nJa' Ja' J a

DE l'aire des surfaces courbes.

435. On appelle aire d'une surface courbe, terminée à un contour quelconque, la limite vers laquelle tend l'aire d'une surface polyédrique composée de faces planes, qui, en diminuant toutes indéfiniment, tendent à devenir tangentes à la surface considérée. On suppose d'ailleurs que le contour qui termine la surface polyédrique se rapproche indéfiniment de celui qui limite la surface courbe.

Nous allons d'abord démontrer l'existence de cette limite.

Il ^ ]''

ii.4:v»^^ -«:- c- ,* • ^'-^.^^i \

4o2 COURS d'analyse.

Prenons sur la surface deux points M (jc, y, z), et M' (a: -f- A x, y + Aj, z -h Az ) . Soient P et P' leurs pro- ^'^- »oo- jections sur le plan xOy. For-

mons le recungle P'^'= AxAy dont les côtés soient parallèles à Ox et à Ojr^ et concevons un prisme indéfini ayant pour base ce rectangle, et dont les arêtes soient perpendiculaires au plan des (x,^). Ce prisme intercepte sur la surface donnée un quadrilatère curviligne / MM' , et sur l a^surfaçe polyédrique une aire co qui , si

^ elle n'est pas plane, sera composée jde particsjjlanes

a , a', a", etc.

Or, puisque les plans de toutes ces surfaces tendent indéfiniment à se confondre avec le plan tangent en M à la surface , si 6, ô', 6", etc. , sont les angles formés par les plans des éléments^, a', a'\ etc., avec le plan des (x,/), et si X est l'angle que forme ce dernier plan avec le plan tangent en M , on a

cos = cos À ( 1 + a ) , . cos 0' = cos X ( I H- a'), . . . ,

a , a', etc. , tendant indéfiniment vers zéro en même temps

que Ax et Ay. Mais le rectangle PP' est la somme des

^' projections d e tous les trîang^les dont nous parlons . Donc

Aar A/ =: fl cos X (i -h «)-+- «' ces X (i + a')-+- «"cos X (i +a")+. . .,

ou

^ =r a -h «' + «"+. . . -4-(fla-h«'a'4-tf"a"4-. . .),

cosX

ou 5 comme a -+- «'+ a"-+- . . . = w ,

A.r àjr cosX

= wH-(aa-4-a'a'-f-fl"a" + . . .)

En opérant de la même manière dans toute l'étendue de la surface, on aura un certain nombre d'équations ana-

logues à celle-ci, et en les ajoutant membre à membre, on aura

Donc

lira V ^ = lim2)» "^ lim ^(^a + ^'*' -^ a" t»!' ->r . . ).

Or

lim2)(ûa-4-a'a'4-a"a" + ...) = o> d'après le théorème démontré n^ 1 69^; donc %w ' f ^

On voit par là que ^^ w ou la surface polyédrique a une /^

limi te.