Les fonctions qui se présentent sous la forme - pour

une certaine valeur de la variable ont souvenl des limites.

sin X

Nous en avons un exemple dans le rapport » qui devient - pour X = o , et qui a pour limite l'unité. De même r expression

se présente pour x = « sous la forme — Toutefois , si

l'on donne à x des valeurs différentes de a, mais qui s'en approchent successivement , les valeurs de y sont déterminées et égales d'ailleurs aux valeurs de l'expression

'ici .

Or, à mesure que x s'approche de plus en plus de a , cette dernière expression diffère de moins en moins de

2a — — ou -•

La limite des valeurs de r est donc -• ^ 2

8. Une quantité variable peut s'approcher indéfiniment d'une limite en restant toujours plus petite ou plus

PREMIERE LEÇOiN. 3

grande que cette limite; mais il peut se faire aussi qu une quantité variable devienne alternativement plus grande et plus petite que la limite vers laquelle elle tend , en oscillant, pour ainsi dire, de part et d'autre.

sm X Ainsi le rapport tend vers zéro quand x croit indéfiniment. En même temps, toutes les fois que a: devient égale à un multiple delà demi-circonférence, devient o, et change de signe.

9. Si deux quantités qui varient simultanément restent constamment égales entre elles dans tous les états de grandeur par lesquels elles passent, et si l 'on sait que l'une d'elles tend vers une limite, il est éi^ident que l'autre tend aussi vers la même limite ou vers une limite égale à celle-là. C'est là le principe de Isl, méthode des limites dont on fait un si grand usage dans toutes les parties des mathématiques.

Ainsi , veut-on prouver que le cercle a pour mesure le produit de sa circonférence par la moitié de son rayon; en désignant par a , p, r l'aire, le périmètre et l'apothème d'un polygone régulier inscrit dans le cercle , on a

or a et p X -r sonldes quantités qui varient avec le nombre des côtés, mais qui restent toujours égales entre elles ; leurs limites sont donc égales. Si A, G^ R désignent Faire, la circonférence et le rayon du cercle, A est la limite de rz , C celle de p et R celle de r : donc