DÉRIVÉE
12. On a été conduit à la découverte du calcul différentiel en cherchant une méthode générale pour mener des tangentes aux courbes planes représentées par des équations.
Concevons deux variables x ety liées entre elles par une relation quelconque , de manière que l'une soit fonction de l'autre. Considérons ces variables comme les coordonnées d'un point rapporté à des axes rectangulaires tracés dans un plan , et construisons la courbe AMB dont l'équation est y=f(x). Supposons cette courbe réelle et continue dans une certaine étendue , et proposons-nous de mener la tangente au point M dont les coordonnées
PREMIÈRE LEÇOir. 7
sont a: ely. On définit ordinairement la tangente comme la limite vers laquelle tend une sécante , lorsque cette sécante tournant autour d'un de ses points d'intersection ,
un] second point d'intersection s'approche indéfiniment du premier. Soit donc M' un second point de la courbe ayant pour coordonnées ar-H A, j-\-h\ considérons la sécante M'MS, et la tangente MT qui en est la limite. On a dans le triangle M' MN
Donc tang IMR = lim tang M'MN = liai - 9
quand h diminue indéfiniment jusqu'à zéro.
Donc, si Ton cherche la limite du rapport des accroissements simultanés k et h des variables j^ et x^ liés entre eux par Féquation
quand h diminue indéfiniment, on aura la tangente trigonométrique de l'angle que fait avec l'axe dés x la droite qui touche la courbe au point M.
13. Le calcul différentiel à pour but de déterminer, pour chaque Jonction, la limite du rapport de r accroissement de la fonction à celui de la variable, quand celuici diminue jusquà zéro. Cette limite, qui dépend de la valeur attribuée à x , mais nullement de h , est appelée la fonction dérii^ée délai fonction proposée. On la représente par r' ou par /' (x).
Nous allons la déterminer pour quelques fonctions simples.
COURS d'ajvalyse.
m étant entier et positif. Si nous changeons x en x -h /* , jr devient y -h A , et l'on a y '\- k=. [x -^ A)'", d'où A=(a:-|- A)* — x"*, ou
k z= mjf'-' h H ^^ ■ x"»-' A^ H- ... H- li"'
d'où T = mx^' H ^^ ^ ^«-' A -H • . . H- Z^""'.
Le rapport t se compose de deux parties, Fune indépendante de A, et l'autre qui contient h en facteur commun , de sorte que si h décroit indéfiniment jusqu'à zéro , cette seconde partie pourra devenir aussi petite que l'on
voudra; donc
Il m ~ = //ix*"-'.
Ainsi, dans ce cas,
y = mx"'-'.
On peut encore obtenir cette dérivée sans faire usage de la formule du binôme. Posons
on a alors X- = X*" — x"^;
et si l'on remarque que A = X — a: , on en déduit
Quand h diminue jusqu'à zéro, X s'approche indéfiniment de x, et l'on a bien encore lim -- = mx"""^,
2°. Soit une fonction entière
y = ax^ -f- bx^ -\- cxP -h • - - »
Changeons a: en j: H- A , / devient j^ •+- ^, et l'on a
X--h^ = a(x-{'h)'^+b{x-^ /ty-hc{x-h h]P-\-' . ., d'où k = a [{x -t- A)'" — A'"'] + b\{x -+- h )'* — a;"]
et, par suite,
k=za
/wr'" ' h 'H -i X
/zjf"-' /< +
Divisant par h et faisant ensuite // = o, on a
lim j ou j'=/Wflrj:"~'+ /7&j:""~'-|- pcxP-^-\- ....
On pourrait aussi obtenir cette dérivée de la même manière que la précédente, sans recourir à la formule du binôme.
m étant entier et positif; ou a
et
d'où, développant et divisant par A,
et enfin , passant à la limite , on a
k mjf"-' m
donc r' = ^~ = — w.r-'"-':
d'où l'on voit que la dérivée de a:"*, quand m est entier, s'obtient toujours de la même manière, quel que soit le signe de m.
4*». ^ = v'i^"II"a»;
on a k = \l[x -^h )'— a' -- sjx' — «=» ,
et, par conséquent,
Il "" Z '
lo COURS d'analyse.
or, si Ton fait A = o , cette expression prend la forme —
Pour faire disparaître l'indéiermi nation , on emploie uu procédé bien connu: on multiplie les deux termes de la fraction par la somme des radicaux dont le numérateur est la dijBFérence; et l'on a
f^ h {>J[x -h hy ^ à" -h v^x'— û']
(jF-hA)'— x'
h [v/(x-f- A)>— fl» H- v/a:'— fl»]' h 7.x -^ h
ou
enfin
donc
Nous avons trouvé d'une manière assez prompte et facile les dérivées des fonctions précédentes \ mais il est certaines fonctions telles que ^x^ — a', etc. , que nous ne pourrions traiter de cette manière ; il nous faut donc une méthode plus générale : c'est là le but du calcul différentiel.
