Soit

donnons à a: un accroissement quelconque h positif ou négatif. Soit k l'accroissement correspondant dey 5 on a

puisque la limite de j est j', on doit avoir, quand h n'est pas nul ,

a étant une (quantité, fonction de x et de A, qui doit ten-

PREMIÈHE LEÇON. II

dre vers zéro en même temps que h. De là résulte k =yh -H ah.

Ainsi r accroissement Ar de la fonction se compose de deux parties distinctes : la première j' h est le produit de l'accroissement de la variable indépendante x par la dérivée de la fonction. On l'appelle la différentielle de la variablej^, et on la désigne par dy^ de sorte que

dy = yh ou f[x)h.

La seconde partie est le produit de h par une quantité a qui s'annule avec h : on ne s'en occupe pas.

De la déGnition de la différentielle, il résulte que la différentielle de la variable indépendante n'est autre chose que raccroissemcnt h. En effet, considérons la fonction

on a j -+- X = j: -h // ;

par suite , kz=:h,

et enfin t = i •

Ainsi , pour celte fonction de x qui est la plus simple de

toutes, la dérivée est i \ par suite, la différentielle

dy ou e/x = 1 X /' = A.

Par conséquent, la formule générale

peut s'écrire dy z=z y dx \

d'où Ton déduit r' = ~

dx

Ainsi la dérivée d'une fonction est le quotient de la différentielle de la fonction par la différentielle de la variable. C'est pourquoi on appelle aussi la dérivée rapport différentiel ou coefficient différentiel.

On dit encore que le coefficient différentiel est la dernière raison (ou le dernier rapport) des accroissements simultanés des variables. Mais les accroissements, étant nuls à la limite , n'ont pas à proprement parler de rapport, et ce que l'on appelle ainsi n'est que la limite dont le rapport de ces quantités approche indéfiniment.

15. La différentielle est susceptible d'une représentalion géométrique. En effet, soit AMB {fig* i, page 7) la courbe représentée par réqualion

k On a tang IMN = lira yz=y .

Or IN = MN tang IMN.

Donc IN = hf' = tty :

ainsi IN représente la différentielle, si d'ailleurs

MN = /i = dx.

On voit par là que dx et cf^ sont les accroissements correspondants de a: et de j^ quand on passe du point de contact M situé sur la courbe à un point quelconque I de la tangente, tandis que k ou M'N est Taccroissement de l'ordonnée de la courbe correspondant au môme accroissement h = d-x de r abscisse.

16. Toutefois , quoique IN et M'N soient en général bien différents, leur rapport tend vers l'unité-, en effet, de

/- -~ j^ l a , on lire

d'ailleurs dy = y' h ,

, A j ' -h a a donc -7- = , — = n 7?

et, %\y n'est pas zéro,

lim -—- = 1 :

ainsi le rapport de f accroissement de la fonction à la différentielle de cette fonction tend ojers Vanité y pourvu que la dérivée ne soit pas nulle.

C'est pourquoi la différentielle est appelée l'accroissement infiniment petit de la fonction , mais ce n'est pas toujours exact , puisque a n'étant pas rigoureusement nul (si ce n'est pour yz=zx)^h n'est pas précisément égal à/A.

DEUXIEME LEÇON. l^

Propriétés générales des fonctions dérivées. — Différentielle d'une fonction de fonction. — Différentielle d'une somme, d'un produit, de fonctions d'une seule variable indépendante.