De la relation

trouvée datis la dernière leçon , on peut déduire plusieurs conséquences remarquables.

Attribuons à x une valeur déterminée, y' aura aussi une valeur déterminée; si Ton donne ensuite à a: un accroissement suffisamment petit, le signe dej^'-f-a sera le même que celui de j^', puisque a peut devenir aussi petit que Ton voudra ; le signe de k sera donc celui de y h , et comme nous supposons A positif, k aura le signe dej^^'. Donc si y est positive, k Test aussi , c'est-à-dire que la fonction va en augmentant, et si y est négative, la fonction va au contraire en diminuant. Ainsi une Jonction croit ou décroît à partir d*une valeur déterminée de X , suii^ant que sa dérii^ée est^ pour cette valeur, posi^ fiVe ou négative.

De ce qui précède , il résulte que si la dérivée d'une fonction reste constamment positive depuis la valeur a jusqu'à la valeur i de x, la fonction croîtra continuellement dans le même intervalle; ce sera le contraire si la dérivée est négative.

Prenons pour exemple la fonction

/ = - ar' — 9. ^' -h 3 ^ -h I .

Construisons la courbe représentée par cette équation.

% ^ Pour x=o on a j=i.

En coDStruisant ces difierents points, on reconnaît que îa courbe présente à peu près la forme MM' M'' M"".

Mais si l'on veut savoir quand l'ordonnée va en croissant ou en décroissant, on prendra la dérivée de y. On iàura

On voit alors que si l'on fait croître x de o à i,j^' est positive ; l'ordonnée ira donc en augmentant depuis le point M'jusqulau point M'^ Pour le point M", dont Pabscisse est x = i , on a

c'est-à-dire que la tangente en ce point est parallèle à Taxe des X. Si l'on fait croître ensuite x depuis i jusqu'à 3 , ;> ' devient négative ; l'ordonnée va donc en diminuant depuis le point M" jusqu'au point M'"^ et comme j^'= o pour a: = 3 , la tangente en ce dernier point est encore parallèle à l'axe des x.

Enfin si l'on donne à x des valeurs croissantes à partir de 3, j^' est constamment positive 5 l'ordonnée de la courbe va donc toujours en augmentant à partir du point M'". On voit de même que si l'on donne à x une valeur négative quelconque , y' est positive , et que par conséquent pour des valeurs négatives de x et croissantes, les valeurs dey correspondantes vont aussi en augmentant. Il faut bien remarquer qu'une quantité négative augmente quand sa valeur absolue diminue.

BBDXIËME LEÇON. l5